高校数学ノートの着眼点まとめ（全302項目）
各項目の「着眼点」（問題文のどこを見て、どう解き始めるか）を、単元ごとに1ページへ並べました。項目名を押すと、その項目のページに進みます。必須・差がつく・不要の3段階つき。
数学Ⅰ
🧮 数と式
公式を当てはめる前に「同じかたまりが作れないか」を見る。4つの積は組み合わせて共通部分を作る。
共通因数→公式→たすき掛けの順に試す。2文字なら一方の文字について整理してからたすき掛け。
次数の最も低い文字で整理する差がつく
文字が多くて手が止まったら、次数が一番低い文字について整理する。1次の文字があれば一気に共通因数が見える。
対称式は和と積で表す差がつく
x,y を入れ替えても変わらない式は、x+y と xy だけで書ける。値を直接代入しない。
分母の有理化必須
分母が \sqrt a\pm\sqrt b なら符号を変えたものを掛ける。項が3つなら2つを1組にして2回に分ける。
\sqrt{a^2} は a ではなく |a|。中身の符号が変わる点で区切って場合分けする。
「小数部分」は (\text{元の数})-(\text{整数部分}) という式で表す。0.414… のように書かない。
二重根号を外す差がつく
中の根号の前を「2\sqrt{\ }」の形にし、足して a+b、掛けて ab になる2数を探す。
1つだけなら公式で外す。2つ以上あれば中身が0になる点で区切って場合分けし、各範囲に入るか確認する。
負の数で割ると不等号の向きが逆。整数解の個数を問われたら数直線に端点を書き、等号が入るかを端で確かめる。
「または」は和集合、「かつ」は共通部分。「どちらでもない」は全体から和集合を引く。
p\Rightarrow q が真なら「矢印の出発点が十分、行き先が必要」。偽を言うには反例を1つ挙げる。
対偶と背理法差がつく
結論が「〜でない」「無理数」「少なくとも一方」なら、直接より対偶か背理法が楽。
📈 二次関数
平方完成と頂点必須
すべての出発点。x^2 の係数でくくり、x の係数の半分の2乗を足して引く。
与えられた条件で式の置き方を選ぶ。頂点・軸なら標準形、3点なら一般形、x 軸との交点なら分解形。
平行移動・対称移動差がつく
式を移動するなら x\to x-p,\ y\to y-q と置き換える。頂点だけ動かすほうが速い場面も多い。
係数の符号とグラフ差がつく
グラフから a,b,c の符号を読むときは「凸の向き→y 切片→軸の位置」の順。
頂点が定義域の中にあるかを見る。最大・最小は「頂点」と「両端」の3か所のどれか。
最小（下に凸）は「軸が定義域の左・中・右」の3通り。最大は「軸が定義域の中央より左か右か」の2通り。
定義域が動くときの最大・最小差がつく
今度は軸が固定で、定義域 a\le x\le a+1 が動く。定義域を左から右へスライドさせて考える。
条件つき・置き換えの最大最小差がつく
文字を消すか置き換えて1変数の二次関数にする。そのとき新しい変数の範囲を必ず書く。
実数解の個数＝グラフと x 軸の共有点の個数。放物線と直線なら、連立して y を消した二次方程式の判別式。
二次不等式必須
x^2 の係数を正にしてから、グラフが x 軸より上か下かで読む。解の公式で出す端点にも注意。
常に正 ⇔ 下に凸で x 軸と共有点なし（a>0 かつ D<0）。x^2 の係数が文字なら0の場合を別に調べる。
解の配置（判別式・軸・端点）差がつく
「2つの解がともに k より大きい」は3点セット（D・軸・f(k)）。「k をはさむ」は f(k)<0 の1本だけ。
📐 図形と計量
半径 r の円周上の点 (x,y) で定義すると、0^\circ\sim180^\circ まで同じ式で扱える。鈍角では \cos,\tan が負。
1つの値から残り2つを出すときは、まず \theta が鋭角か鈍角かで符号を決める。
\sin\theta は高さ（y 座標）、\cos\theta は横（x 座標）。半円に直線を引いて交点の角を読む。2種類混ざれば \sin^2+\cos^2=1 で1種類にそろえる。
和が分かったら2乗して積 \sin\theta\cos\theta を出す。あとは数と式の対称式と同じ。
正弦定理必須
「向かい合う辺と角のペア」が1組そろっていて、外接円の半径か別のペアを求めるときに使う。
余弦定理必須
2辺とその間の角 → 残りの辺。3辺 → 角の \cos。\cos の符号で鋭角・直角・鈍角が分かる。
与えられた3つの量の組み合わせで決める。迷ったら「分かっている量と求めたい量をすべて含む式」を選ぶ。
三角形が2つできる場合差がつく
2辺と「間でない角」が与えられると、三角形が2通りありうる。余弦定理で二次方程式を立てると両方自然に出る。
三角形の形状決定差がつく
角の式を辺の式に直す。\sin A は \dfrac a{2R}、\cos A は余弦定理で置きかえて、辺だけの式にして整理する。
面積は「2辺と間の角」。3辺だけなら、余弦定理で \cos → \sin → 面積の順。内接円の半径は面積から逆算する。
\triangle ABC=\triangle ABD+\triangle ADC と面積で式を立てると、AD が一次方程式で出る。
円に内接する四角形差がつく
対角の和が 180^\circ なので \cos C=-\cos A、\sin C=\sin A。対角線を2つの三角形の余弦定理で2通りに表して等式を作る。
空間図形の計量必須
立体は「平面で切った三角形」を取り出して考える。高さは頂点から底面への垂線の足（正四面体なら底面の外心）を見つける。
ヘロンの公式不要
📊 データの分析
データは必ず小さい順に並べてから中央値を取る。個数が偶数なら真ん中2つの平均。
中央値でデータを前半・後半に分け、それぞれの中央値が Q_1,\ Q_3。個数が奇数なら中央値そのものはどちらにも入れない。
箱ひげ図は5つの値（最小・Q_1・Q_2・Q_3・最大）だけの情報。「何番目の値か」に翻訳して人数を数える。
外れ値の基準差がつく
四分位範囲の1.5倍だけ箱の外に出た値を外れ値とする（教科書の基準）。
分散と標準偏差必須
定義（偏差の2乗の平均）と、計算用の公式「2乗の平均 − 平均の2乗」の2つを使い分ける。
足し算 b は平均だけずらし、散らばりには効かない。掛け算 a は分散に a^2、標準偏差に |a| で効く。
分散どうしを平均してはいけない。「合計」と「2乗の合計」に戻して足す。
共分散と相関係数必須
表を作って「x の偏差」「y の偏差」「積」「2乗」を列ごとに足すのが最速で確実。
右上がり→正の相関、右下がり→負の相関。直線に近いほど |r| が1に近い。
変換したときの共分散・相関係数差がつく
相関係数は単位に依存しない。a,\ c の符号が同じなら不変、異なれば符号だけ反転。
仮説検定の考え方差がつく
「偶然だとしたら、こんな結果はどれくらい起こりにくいか」を確率で測り、基準（多くは5%）より小さければ偶然ではないと判断する。
標準化と偏差値不要
平均0・標準偏差1に揃えるのが標準化 z=\dfrac{x-\overline{x}}{s}。偏差値は 50+10z。
数学A
🎲 場合の数と確率
「または（同時に起こらない）」なら足す、「続けて／同時に選ぶ」なら掛ける。迷ったら樹形図を3段だけ描く。
制約の強い場所から先に決める（先頭の0、偶数なら一の位）。隣り合う→まとめて1つ、隣り合わない→後から隙間に入れる。
並べ方を区別しないなら C。最短経路は「右 a 回・上 b 回の並べ方」なので _{a+b}\mathrm{C}_a。
組分け（区別あり／なし）差がつく
同じ人数の組が k 個あり、組に名前がないなら k! で割る。名前（部屋A・Bなど）があれば割らない。
全部を区別して n! 通り並べ、同じもの同士の入れ替え分で割る。
円順列・じゅず順列差がつく
円は回転で同じになるので1人を固定して残りを並べる。裏返しも同じ（じゅず・首飾り）ならさらに2で割る。
1人ずつ「どの部屋に入るか」を選ぶので (\text{部屋数})^{(\text{人数})}。空き部屋を禁じるなら、空きがある場合を引く。
重複組合せ（○と｜の並べ方）差がつく
「n 種類から重複を許して r 個取る」＝「○ r 個と仕切り｜(n-1) 本の並べ方」。
確率は同様に確からしい根元事象で数える。同じ色の玉・同じさいころもすべて区別する。
「少なくとも1つ」は余事象（1つもない）から。「最大値が k」は「すべて k 以下」−「すべて k-1 以下」。
確率 p の試行を n 回やってちょうど r 回起こる確率は「何回目に起こるかの選び方 C」×「確率の積」。
「Aが起きたとわかっているとき」は分母をAに取り替える。原因を逆にたどる（検査・どの袋から来たか）型も同じ式。
期待値必須
「値 × その確率」の和。確率の合計が1になるか必ず確認してから掛ける。
「n 回後の状態」から「n+1 回後」への1ステップだけを考える。状態が2つなら一方の確率 p_n、もう一方は 1-p_n。
状態が3つ以上でも、確率の和＝1と対称性（BとCは同じ立場）を使えば、変数は1つに減ることが多い。
n 人のプレゼント交換で誰も自分のものを受け取らない並べ方 W_n。小さい n なら書き出しで十分。
🔢 整数の性質
まず素因数分解。約数は「各素数を何個使うか」の選び方なので、指数＋1を掛ける。
G が分かったら a=Ga',\ b=Gb'（a',b' は互いに素）とおく。これが整数問題の基本の置き方。
a=bq+r なら \gcd(a,b)=\gcd(b,r)。割り算を余りが0になるまで続け、最後の割る数が最大公約数。
特殊解を1つ見つけて引き算し、「a(\cdots)=b(\cdots) で a,b が互いに素」から一般解を出す。
「すべての整数 n について〜を示せ」は、割る数で n を分類して全部調べる。
合同式で余りを計算する差がつく
a\equiv b\pmod m は足す・引く・掛ける・累乗してよい。1（または -1）になる累乗を見つけて指数を小さくする。
互除法の考え方を文字式に使う。一方から他方の何倍かを引いて、定数にする。
xy と x,\ y の1次の項がある式は、因数分解できるように定数を足して「整数 × 整数 ＝ 定数」にする。
大小を仮定して範囲を絞る差がつく
対称な式は x\le y\le z と仮定し、一番小さい文字の範囲を不等式で有限個に絞る。
n! に含まれる素因数の個数差がつく
p の倍数、p^2 の倍数、p^3 の倍数…の個数を足す。末尾の0の個数は5の個数で決まる。
n 進法 → 10進法は「位の重み n^k を掛けて足す」。10進法 → n 進法は整数部分は n で割り続けて余りを下から読む、小数部分は n を掛け続けて整数部分を上から読む。
p が素数で a が p の倍数でないとき a^{p-1}\equiv1\pmod p。大きな累乗の余りの周期がすぐ分かる。
📐 図形の性質
「何の交点か」と「その点の性質（等距離・比・角）」をセットで言えるようにする。
角の二等分線と比必須
\angle A の二等分線は対辺 BC を隣の2辺の比 AB:AC に分ける（外角の二等分線なら外分）。
チェバの定理必須
3本の線が1点で交わる図で、各辺の分け方の比を求める。頂点→分点→頂点…と一周する順に比を掛ける。
メネラウスの定理必須
三角形1つと、それを横切る直線1本を見つける。三角形の頂点から出発し、直線との交点と頂点を交互にたどって一周。
高さが共通なら底辺の比。1つの角を共有するなら「その角をはさむ2辺の積」の比。
三角形の成立条件・辺と角の大小差がつく
3辺 a,b,c で三角形ができる ⇔ 最大辺 < 他の2辺の和。大きい辺の向かいに大きい角。
同じ弧に対する円周角は等しい。内接四角形は対角の和 180^\circ、外角＝内対角。
接線と弦のなす角は、その角の内側にある弧に対する円周角に等しい。円外の点から引いた2本の接線の長さは等しい。
方べきの定理必須
点 P を通る2本の直線と円の交点で、P から2つの交点までの長さの積が一定。接線なら接線の長さの2乗。
2円の位置関係と共通接線の長さ差がつく
中心間距離 d と半径 r_1>r_2 の大小で位置関係が決まる。共通接線の長さは、直角三角形を作って三平方。
トレミーの定理不要
円に内接する四角形で「対角線の積＝2組の対辺の積の和」。
多面体（オイラーの多面体定理）差がつく
頂点・辺・面の数は「面の辺を全部数えて、1本の辺は2つの面で共有」で数える。
長さ \sqrt a は「長さ1と a をつないだ線分を直径とする半円」で、つなぎ目に立てた垂線の長さ。
数学Ⅱ
🧮 式と証明
二項定理と一般項必須
展開しきらず「一般項」を書き、指数の条件から r を決める。
多項定理（3項の展開）差がつく
「どの項を何個選ぶか」の組を全部書き出し、それぞれ \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!} を足す。
二項係数の和・余りへの応用差がつく
(1+x)^n の x に 1 や -1 を代入する。余りは「割る数の近く」で二項展開。
割り算の結果は必ず「A=BQ+R（R の次数 < B の次数）」の形で書く。剰余の定理・恒等式の出発点。
分数式の計算（通分・部分分数）差がつく
分母は先に因数分解。連続する積の和は部分分数 \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} で消える。
剰余の定理必須
割り算をせずに余りが出せる。余りの次数は「割る式の次数 − 1」以下とおく。
定数項の約数（÷最高次係数の約数）を順に代入して 0 になるものを探す。
3次式・重解型で割った余り差がつく
(x-a)^2 を含む式で割るときは、余りを「k(x-a)^2+(\text{既知の余り})」とおくと未知数が1つで済む。
「すべての x について成り立つ」→ 係数比較か、都合のよい値の代入。
条件式で文字を1つ消す。比例式は =k とおく。
基本は「左辺−右辺 \ge 0」。\sqrt{\ } や絶対値は、両辺が正（0以上）を確認してから2乗の差をとる。
「正の数」「積が一定」の2つがそろったら使う。等号成立条件が実際に満たせるかを必ず確認。
(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2。1次式の最大最小を一発で出せる。
🔢 複素数と方程式
複素数の四則計算必須
i を文字として計算し、i^2 が出たら -1 に置き換える。割り算は分母の共役複素数を掛ける。
負の数の平方根必須
\sqrt{-a} は計算の前に必ず \sqrt{a}\,i に直す。
複素数の相等必須
「a,b は実数」を確認してから、実部と虚部を別々に等しくおく。
判別式と虚数解必須
D<0 でも解は求まる（虚数解）。「実数解」「虚数解」「異なる2つの解」の言い分けに注意。
解そのものを求めず、\alpha+\beta と \alpha\beta だけで表して代入する。
新しい2解の「和」と「積」を出せば方程式は決まる。
解の符号（解と係数の関係で判定）差がつく
「2つの正の解」は判別式・和・積の3条件。「異符号」は積だけでよい。
解を1つ見つけて割り、2次方程式に帰着。x^4 と x^2 だけなら X=x^2 とおく。
虚数解が与えられたときの係数決定差がつく
実数係数なら共役も解。2解から2次式の因数を作り、割り算か係数比較。
3次方程式の解と係数の関係差がつく
ax^3+bx^2+cx+d=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\times a を展開して比べたもの。
1の3乗根 ω差がつく
使う性質は2つだけ: \omega^3=1 と \omega^2+\omega+1=0。
係数が左右対称な4次方程式は x^2 で割って t=x+\dfrac{1}{x} とおく。
📐 図形と方程式
内分は「遠いほうの点に近いほうの比」をかける（たすき掛け）。外分は n を -n にするだけ。
「通る1点＋傾き」で y-y_1=m(x-x_1)。垂直は傾きの積 -1。
点と直線の距離必須
直線は必ず ax+by+c=0 の形にしてから使う。円と直線・三角形の面積で頻繁に登場。
直線に関する対称点と折れ線の最短差がつく
対称点は「中点が直線上」「結ぶ線分が直線に垂直」の2式。折れ線の最短は片方を折り返して一直線に。
k を含む式は「k についての恒等式」と見て k(\ )+(\ )=0 に整理する。
一般形は平方完成して中心と半径を読む。3点を通る円は一般形で連立。
判別式より「中心と直線の距離 d と半径 r の比較」が速い。弦の長さは三平方。
円の接線必須
円上の点なら公式1本。円外の点からは「接点を (x_1,y_1) とおく」が確実。
2円の位置関係・共通弦差がつく
中心間の距離 d と r_1+r_2,\ |r_1-r_2| を比べる。2円の式を引くと共通弦の直線。
軌跡の求め方必須
求める点を (x,y) とおき、条件を x,y の式に。動く点が別にあるときは、その座標を x,y で表して代入（つなぎの文字を消す）。
不等式の表す領域必須
境界線をかき、「y> なら上側」「円の式 <r^2 なら内部」。積 AB<0 は「A,B が異符号」で2通りに分ける。
領域と最大最小（線形計画）差がつく
求めたい式を =k とおき、その図形（直線・円）が領域と共有点をもつ範囲で k を動かす。
直線の通過領域不要
直線の式を「パラメータ t の方程式」と見て、実数解 t が存在する条件を出す。
🌀 三角関数
弧度法と扇形必須
180^\circ=\pi だけ覚えれば変換できる。扇形の公式は弧度法でしか使えない。
単位円上の点の x 座標が \cos、y 座標が \sin、傾きが \tan。値は覚えるより単位円で読む。
グラフ（周期・振幅・平行移動）差がつく
y=a\sin(b\theta-c) は必ず a\sin b\left(\theta-\dfrac{c}{b}\right) とくくって平行移動量を読む。
加法定理必須
\sin は「サインコス・コスサイン」で符号そのまま、\cos は「コスコス・サインサイン」で符号逆。
2直線のなす角差がつく
傾き m=\tan\theta と読み替え、\tan の加法定理で角の差を出す。
\cos2\alpha は3通りの形を使い分ける（\sin だけにしたい・\cos だけにしたい）。半角は \cos2\alpha の式の変形。
三角関数の合成必須
(a,b) を座標とみて、原点からの距離 \sqrt{a^2+b^2} と角 \alpha を読む。最大最小は角の範囲を必ず書き出す。
積和・和積の公式不要
加法定理の2式を足し引きして作る。覚えずに導けばよい。
三角方程式必須
単位円で角を読む。2\theta+\alpha などは置き換えて範囲も変換してから解く。
三角不等式必須
等号で解いて境界の角を出し、単位円で「どちら側か」を読む。2次式なら先に \sin\theta の範囲を出す。
\sin か \cos の1種類にそろえて t とおく。t の範囲（-1\le t\le1 など）を書いてから2次関数の最大最小。
\sin\theta+\cos\theta と \sin\theta\cos\theta が両方あったらこの置換。t の範囲は合成で出す。
2次の同次式（次数下げ→合成）差がつく
\sin^2,\ \sin\cos,\ \cos^2 だけの式は、半角の公式で 2\theta の1次式にしてから合成。
📐 指数・対数関数
指数法則と累乗根必須
累乗根はすべて分数の指数に直し、底を素数にそろえてから指数の足し引きで計算する。
底がそろうなら指数で比べる。そろわないなら、全部を同じ回数だけ累乗して根号を外す。
両辺を同じ底の累乗にして、指数どうしを比べる。底が1より小さいときは不等号の向きが逆。
4^x と 2^x が混ざっていたら t=2^x。置いた瞬間に「t>0」と書く。
t=a^x+a^{-x} と置くと相加相乗平均で t\ge 2。a^{2x}+a^{-2x}=t^2-2 で2次関数になる。
底が文字のときは a>1 と 0<a<1 で場合分け差がつく
底が文字なら、不等式の向きが決まらない。必ず2通りに分けて答える。
定義は「a^p=M \iff p=\log_a M」。底がばらばらなら底の変換公式で1つにそろえる。
最初の1行で真数条件を書く。左辺を1つの \log にまとめ、底をそろえて真数どうしを比べる。
(\log_2 x)^2 が見えたら t=\log_2 x。x の範囲を t の範囲に直してから2次関数として扱う。
「=k」とおいて各辺の対数をとり、x,y,z を \log で表してから代入する。
\log_{10}N の整数部分で桁数、小数部分で最高位の数字が決まる。
両辺の常用対数をとって1次不等式にする。\log_{10}(\text{1未満の数})<0 で割るときは向きが逆。
「0.3<\log_{10}2<\frac{1}{3} を示せ」のように、近似値を与えずに評価させる問題。
📉 微分法（数Ⅱ）
x^n は「指数を前に出して1つ下げる」。展開しにくい (ax+b)^n はそのまま微分してよい。
微分係数の定義と極限の変形差がつく
\frac{f(a+\square)-f(a)}{\square} の形（\square がそろう形）を作れば f'(a) に置き換えられる。
接点の x 座標が分かっているなら、f(a) と f'(a) を出して公式に入れるだけ。
通る点しか分からないときは、接点を (t,f(t)) とおいて接線を作り、通る点を代入して t を決める。
共通接線差がつく
片方の曲線の接線を接点 s で作り、もう片方とは「連立して重解（判別式 =0）」で接する条件を立てる。
f'(x) を因数分解 → 符号を表に → 符号が「＋→−」で極大、「−→＋」で極小。
3次関数が極値をもつ \iff f'(x)=0 が異なる2実数解（D>0）。極値から係数を決めたら、最後に増減表で十分性を確認。
極値・y切片・（分かれば）x軸との交点の3つを打って、増減表どおりにつなぐ。
極値の差は、極値をとる x の差 \beta-\alpha だけで決まる。解と係数の関係と組むと計算が短い。
候補は「区間の両端」と「区間内の極値」だけ。全部の値を出して比べる。
図形・文章題の最大・最小差がつく
変数を1つ決めて量を式にし、変数の範囲を必ず書く。範囲内の極値が答えになることが多い。
\sin\theta=t などと置いたら、t の範囲を先に書く。そのうえで t の3次関数の最大最小。
f(x)=a の形に分けられたら、y=f(x) のグラフと水平線 y=a の交点の個数を数える。
3次方程式 f(x)=0 が異なる3実数解 \iff 極値が存在して（極大値）\times（極小値）<0。
「左辺−右辺 =f(x)」とおき、指定範囲での最小値が 0 以上であることを増減表で示す。
「点 (p,q) から y=x^3-x に3本の接線が引ける (p,q) の範囲を図示」の型。t の3次方程式が異なる3実数解をもつ条件を p,q の不等式にする。
📏 積分法（数Ⅱ）
指数を1つ上げて、その数で割る。積分定数 C は条件（f(a)=b など）で決める。
[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)。区間が -a から a なら、奇数次は消えて偶数次は2倍。
中身の符号が変わる点で区間を分け、絶対値を外してから積分する。グラフを描けば「x軸より下を折り返した面積」。
文字を含む定積分の最小値差がつく
積分すると文字 a の関数になる。あとは2次関数の最小、または場合分け。
交点の x 座標で区間を決め、上下を確認してから \int(\text{上}-\text{下})dx。x軸の下にある部分は符号に注意。
放物線と直線（または2つの放物線）で囲まれた面積は、交点の差 \beta-\alpha と x^2 の係数の差だけで決まる。
放物線と接線（1/3公式）差がつく
接線との差は a(x-\alpha)^2 の形になる。\int(x-\alpha)^2dx=\frac{(x-\alpha)^3}{3} で一発。
3次関数と接線（1/12公式）差がつく
3次関数と接線の差は a(x-\alpha)^2(x-\beta) に因数分解できる（接点 \alpha が重解）。
面積を2等分する直線差がつく
小さい方の面積を1/6公式で文字のまま出し、「全体の半分」とおいて方程式を解く。
\int_0^1 f(t)dt は「ただの数」。k とおいて f(x) を表し、もう一度その定義式に戻して k の方程式を作る。
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)。定数（下端の a など）は「x=a を代入すると左辺が 0」で決める。
積分の中に x がある ∫₀ˣ(x-t)f(t)dt差がつく
中の x を積分の外に出してから微分する。積の微分を使う。
F'(x)=f(x) なので、被積分関数の符号がそのまま増減表になる。値は積分して出す。
面積の証明問題（1/6公式を自分で示す・面積が一定を示す）必須
交点を \alpha,\beta と文字のままおき、「上−下 =a(x-\alpha)(x-\beta)」と因数分解した形で積分する。
\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx=\frac{(\beta-\alpha)^5}{30}。4次関数とその複接線（2点で接する直線）で囲まれた面積に使う。
数学B
🔢 数列
初項 a と公差 d の2つを決めれば全部決まる。和は「（初項＋末項）×項数÷2」。
和の公式は r\ne1 のときだけ。r=1 の可能性があれば必ず分ける。
3数 a,b,c が等差なら 2b=a+c、等比なら b^2=ac。3数は b-d,\ b,\ b+d とおくと計算が楽。
Σの公式と計算必須
\sum は展開して k^2,\ k,\ 1 ごとに分け、公式に入れる。最後は n でくくって因数分解。
\frac{1}{(\text{積})} の和は「差」に分けて、隣どうしを打ち消させる。残る項を初めと終わりで確認。
\sum k\cdot r^{k-1} の形は、S と rS を1つずらして並べて引く。等比数列の和が現れる。
階差から戻すときも、S_n から戻すときも、式は n\ge2 でしか使えない。最後に n=1 を確認。
\alpha=p\alpha+q を解いて a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha) と変形。\{a_n-\alpha\} が等比数列になる。
aₙ₊₁=paₙ+(n の式)、aₙ₊₁=paₙ+rⁿ差がつく
r^n がつくなら両辺を r^{n+1} で割る。n の1次式がつくなら「a_n+(\text{1次式})」が等比になるようにくっつける。
分数型は逆数をとる差がつく
a_{n+1}=\frac{a_n}{pa_n+q} の形は、逆数 b_n=\frac{1}{a_n} で1次の漸化式になる。
x^2=px+q の2解 \alpha,\beta を使い、a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) と変形。2通り作って引けば a_n が出る。
Sₙ と aₙ が混ざった漸化式差がつく
n を n+1 にずらした式と引いて S_n を消す（S_{n+1}-S_n=a_{n+1}）。a_1 は n=1 を代入して別に出す。
群数列（区切りを入れた数列）差がつく
「第 n 群の最後の項は、もとの数列の第何項か」を最初に求める。そこから何群の何番目かを挟み撃ちで決める。
数学的帰納法必須
「n=1 で成立」「n=k で成立を仮定 → n=k+1 で成立」の2段。仮定の式をどこで使ったかが見える答案にする。
一般の分数型 aₙ₊₁=(paₙ+q)/(raₙ+s)・連立漸化式不要
不動点（x=\frac{px+q}{rx+s} の解）を使って \frac{a_n-\alpha}{a_n-\beta} を等比数列にする型や、a_{n+1},b_{n+1} を連立させる型。
(k+1)^5-k^5 の和をとる方法で導けるが、覚える必要はない。
📊 統計的な推測
まず「X がとる値」と「その確率」の表を書く。確率の合計が1になるかで検算する。
計算は「2乗の平均 − 平均の2乗」で。定義式（偏差の2乗の平均）は値が整数のとき以外は遠回り。
足した定数 b は分散に効かない。かけた a は分散では2乗になる。
和の期待値・独立な確率変数の分散差がつく
和の期待値はいつでも足せる。分散を足せるのは「独立」のときだけ。
「1回の確率が p の試行を n 回独立にくり返したときの回数」なら二項分布。平均・分散は公式で一発。
N(m,\,\sigma^2) は必ず Z=\dfrac{X-m}{\sigma} で標準化してから表を引く。表は「0から z まで」の面積。
n が大きい二項分布の確率は、平均 np・分散 npq の正規分布とみなして計算する。
標本平均の分布必須
標本平均 \overline{X} は、平均は母平均のまま、標準偏差は \sqrt{n} 分の1になる。
母平均の推定（信頼度95%）差がつく
「標本平均 ± 1.96 × 標準偏差 ÷ √n」。母標準偏差が分からなければ標本標準偏差で代用してよい（n が大きいとき）。
①帰無仮説を立てる ②その仮説のもとでの分布を出す ③標準化した値が棄却域（有意水準5%両側なら |Z|\ge1.96）に入るかを見る。
標本比率 R を使い、標準偏差を \sqrt{\dfrac{R(1-R)}{n}} として母平均の推定と同じ形で区間を作る。
確率は面積（積分）。全体の面積が1。
大数の法則不要
標本の大きさ n を大きくすると、標本平均（標本比率）は母平均（母比率）に近づく。
数学C
🧭 ベクトル
平行は「一方が他方の実数倍」。成分なら a_1b_2-a_2b_1=0 で一発。
大きさと角が分かっていれば定義、成分が分かっていれば成分の式。角を求めるなら両方を等号でつなぐ。
垂直条件必須
「垂直」と書いてあったら即「内積 = 0」の式を立てる。
三角形の面積必須
\sin を経由せず、内積と大きさから直接出す。成分なら「たすき掛けの差」の半分。
内分は「たすき掛け」：m:n に内分なら \vec a に n、\vec b に m。外分は n をマイナスにするだけ。
交点を「直線1の上」「直線2の上」の2通りで表し、\vec a,\vec b の係数を比べる。最後に「\vec a,\vec b は一次独立」と一言書く。
長さは「2乗して展開」、角は「内積を出して cos」。必要な材料は |\vec a|,\ |\vec b|,\ \vec a\cdot\vec b の3つだけ。
垂線の足の位置ベクトル差がつく
足Hを「直線上の点」として1文字で置き、「OH ⊥ 直線の向き」で内積 = 0 を解く。
条件式を「右辺 = 1」の形に割り、係数の和が1になるようにベクトルを作り直す。
ベクトル方程式（直線・円）差がつく
直線は「通る点＋方向」か「通る点＋法線」、円は「中心からの距離一定」。
平面の公式に z 成分を足すだけ。両方に垂直なベクトルは、内積 = 0 を2本立てて比を出す。
点Pが平面ABC上 \iff \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}} で係数の和が1。平面の「係数和=1」版。
空間の直線・球面差がつく
直線は \vec p=\vec a+t\vec d を成分で書き、条件（z=0 など）から t を決める。球面と平面の交わりは円。
法線 (a,b,c) の平面は ax+by+cz+d=0。点と直線の距離の公式の空間版。
🌀 複素数平面
絶対値は2乗して z\overline z に直す。実数・純虚数の判定は共役で書く。
極形式と積・商必須
かけ算は「絶対値はかけ、偏角は足す」。割り算は「絶対値は割り、偏角は引く」。
\theta 回転は \cos\theta+i\sin\theta をかける。中心が原点でなければ「中心を原点に移してから回して戻す」。
累乗は極形式にしてから。n 乗は「絶対値を n 乗、偏角を n 倍」。
z=r(\cos\theta+i\sin\theta) とおき、絶対値と偏角を比べる。偏角は「+2k\pi」を付けて k=0,1,\dots,n-1。
|z-\alpha| は「点 \alpha との距離」と読む。比の形（アポロニウス）は2乗して z\overline z でまとめる。
\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} の絶対値は辺の比 \dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}、偏角は \angle\mathrm{BAC}。
単位円上の点なら共役を \dfrac1z に置きかえられる。z+\dfrac1z は実数 2\cos\theta。
w=f(z) による図形の移り方差がつく
z を w で表して（逆に解いて）、z の条件式に代入する。
z^n=1,\ z\ne1 なら 1+z+\cdots+z^{n-1}=0。実部を取ると \cos の和が出る。
3点が正三角形の頂点 \iff この対称式が成り立つ。暗記より「回転で示す」方が応用が利く。
🔭 平面上の曲線
y^2=4px の形に合わせて p を読む。焦点 (p,0)、準線 x=-p。x^2=4py なら x,y の役割を入れかえる。
焦点は「大きい方 − 小さい方」の平方根：c=\sqrt{a^2-b^2}。焦点からの距離の和は長軸の長さ 2a。
焦点は c=\sqrt{a^2+b^2}（足す）。漸近線は右辺を0にして y=\pm\dfrac ba x。
x,\ y それぞれ平方完成して標準形に。中心（頂点）がずれた分だけ焦点もずらす。
2次曲線の接線の公式差がつく
「x^2\to x_1x、y^2\to y_1y、x\to\dfrac{x+x_1}{2}」と置きかえるだけ。
直線と2次曲線の共有点（判別式）差がつく
直線の式を代入して x の2次方程式に。接する ⇔ 判別式 =0。弦の中点は解と係数の関係。
定義から2次曲線の方程式を作る差がつく
「距離の和が一定」→楕円、「距離の差が一定」→双曲線、「点と直線から等距離」→放物線。気づけば計算なしで書ける。
\cos\theta,\ \sin\theta が出たら \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 で消す。逆に楕円上の点は (a\cos\theta,\,b\sin\theta) とおくと1変数になる。
x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ r^2=x^2+y^2 の3本だけ。極方程式は両辺に r をかけて r^2,\ r\cos\theta を作る。
極方程式（直線・2次曲線）差がつく
加法定理でばらしてから x,\ y に置きかえる。r=\dfrac{\cdots}{1-\cos\theta} の形は「分母を払って r=\cdots」にしてから2乗。
焦点までの距離 ÷ 準線までの距離 =e。e<1 楕円、e=1 放物線、e>1 双曲線。
サイクロイド不要
半径 a の円が転がるとき、円周上の点は x=a(\theta-\sin\theta),\ y=a(1-\cos\theta)。
数学Ⅲ
🎯 極限
まず代入して形を見る。\frac{\infty}{\infty} なら分母の最高次で割る、\infty-\infty で根号があれば有理化。
r^n を含む式は、|r| と 1 の大小で場合分け。|r|>1 のときは r^n（いちばん大きい底）で割る。
はさみうちの原理必須
\sin n、(-1)^n、[x]、n乗根など「直接計算できないもの」が出たら、上下から同じ値に収束する式ではさむ。
漸化式で決まる数列の極限差がつく
a_{n+1}=pa_n+q 型は、極限値の候補 \alpha=p\alpha+q を引いて等比数列にする。一般項が出ないときは |a_{n+1}-\alpha|\le k|a_n-\alpha|（0<k<1）を示す。
無限等比級数必須
収束条件は「初項 =0 または |r|<1」。和の公式の前に必ず収束条件を確認する。
等比でない級数は、まず第 n 項までの部分和 S_n を求め、\lim S_n を計算する。分数なら部分分数分解で消し合わせる。
\frac00 は因数分解か有理化で原因の因数を約分。x\to-\infty は t=-x とおいて t\to\infty に直す。
極限値から係数を決める差がつく
分母 \to0 で極限が有限なら、分子 \to0 が必要。これで係数の関係を出し、実際に計算して十分性を確かめる。
\sin(\text{何か}) には同じ「何か」を分母にそろえる。1-\cos x は 1+\cos x を掛けて \sin^2x にする。
e に関する極限必須
(1+\text{小})^{\text{大}} の形は e の定義へ。指数・対数の \frac00 は \frac{e^h-1}{h}\to1、\frac{\log(1+h)}{h}\to1 を使う。
片側極限と「極限が存在しない」差がつく
絶対値・ガウス記号・\frac{1}{x-a} は、右側 x\to a+0 と左側 x\to a-0 を別々に計算する。一致すれば極限あり。
関数の連続性差がつく
x=a で連続 ⇔ 「左側極限 = 右側極限 = f(a)」。つなぎ目ごとに3つの値をそろえる条件を立てる。
中間値の定理差がつく
「解が少なくとも1つある」を示せと言われたら、連続関数の端点の値の符号が逆であることを示す。
📉 微分法（数学Ⅲ）
微分係数の定義と微分可能性差がつく
「\lim\frac{f(a+\square)-f(a)}{\square}」の形を見たら定義に戻す。\square をそろえるのがコツ。
積・商の微分必須
積は「片方ずつ微分して足す」、商は「分母の2乗、分子は（上'×下 − 上×下'）」。符号の順番に注意。
「外側を微分 × 中身の微分」。y=f(u),\ u=g(x) と分けて考える。逆関数は \frac{dy}{dx}=1\Big/\frac{dx}{dy}。
この表は暗記。\log は自然対数（底 e）。底が e 以外なら \log a が付く。
対数微分法差がつく
x^x のように底にも指数にも x がある、または積・商・累乗がたくさん重なっている式は、両辺の対数をとってから微分。
x,y がともに t の式なら、それぞれ t で微分して割る。接線は「t の値 → 点と傾き」の順で出す。
y について解かずに、両辺を x で微分する。y の式を微分したら y' を掛ける（(y^2)'=2yy'）。
接線・法線必須
接点がわかっていなければ、接点を (t,f(t)) とおいて接線を作り、通る点の条件で t を決める。
f'(x) を因数分解し、符号が変わる点を並べて増減表。e^x や (\ )^2 など常に正の因数は符号に関係しない。
グラフは「定義域 → 対称性 → f'（増減）→ f''（凹凸）→ 端や漸近線での極限」の順に調べて表にまとめる。
区間の端点の値と極値を比べる。文章題は「何を変数にするか」「その変数の範囲」を最初に書く。
「A>B を示せ」は f(x)=A-B とおき、f(\text{端})\ge0 と増加を示す。1回で符号がわからなければ f'' まで微分する。
方程式の実数解の個数（定数分離）差がつく
文字定数 a を片側に集めて「a=g(x)」にし、y=g(x) のグラフと横線 y=a の交点の個数を数える。
平均値の定理差がつく
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}（2点を結ぶ傾き）の形を見たら平均値の定理。c が a<c<b にあることを使って評価する。
速度・加速度と近似式差がつく
速度は位置の微分、加速度は速度の微分。平面ではベクトルで扱い、速さは大きさ。近似式は「接線で置き換える」と覚える。
ロピタルの定理不要
🧮 積分法（数学Ⅲ）
基本の不定積分必須
微分の表を逆に読む。積分する前に「展開・分割・三角の公式」で表の形に崩す。
中身が1次式なら、ふつうに積分して \frac1a を掛けるだけ。置換を書かずに済ませてよい。
被積分関数の中に「ある式」と「その導関数」がペアで見えたら、この型。\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} もこれ。
「まとまり」を t とおく。\sqrt{a^2-x^2} は x=a\sin\theta、\frac{1}{x^2+a^2} は x=a\tan\theta。
部分積分必須
「多項式 × (e^x・\sin・\cos)」は多項式を微分する側に。「多項式 × \log x」は \log x を微分する側に。
\sin^2,\cos^2 は半角で次数を下げる。\sin\cdot\cos の積は積和公式。奇数乗は1つ取り出して f^nf' 型。
分子の次数 ≥ 分母の次数なら、まず割り算。分母が因数分解できれば部分分数に分ける。分母が x^2+a^2 なら \tan 置換。
上端に x があれば微分して中身を取り出す。上下端が定数なら「定積分 = 定数 k」とおく。
区分求積法必須
\lim\frac1n\sum f\left(\frac kn\right) の形を作る。\frac1n をくくり出し、残りを \frac kn だけの式にする。
定積分と不等式（和を積分で評価）差がつく
\sum\frac1k のように和が計算できないときは、長方形の面積と曲線の下の面積を比べる。グラフを描いて大小を決める。
面積必須
交点を求め、区間ごとに「上 − 下」を積分。x について解きにくい曲線は y で積分（右 − 左）。
体積は「断面積を積分」が原理。x 軸回転は断面が円なので \pi y^2。y 軸回転は x=g(y) にして \pi x^2 を y で積分。
媒介変数表示の曲線と面積差がつく
\int y\,dx を t の積分に置換する。x の向きと t の向きの対応（積分範囲）に注意。
曲線の長さ差がつく
根号の中が「何かの2乗」になるよう作られていることが多い。1-\cos t=2\sin^2\frac t2 などを使って根号を外す。