余事象・「少なくとも」・最大値の確率
着眼点「少なくとも1つ」は余事象（1つもない）から。「最大値が k」は「すべて k 以下」−「すべて k-1 以下」。
P(\overline{A})=1-P(A)
P(\text{最大値}=k)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n\quad(\text{さいころ }n\text{ 個})
最小値が k なら「すべて k 以上」−「すべて k+1 以上」。
例題
1
さいころを3回投げるとき、少なくとも1回6の目が出る確率を求めよ。
解答
1回も6が出ない確率は \left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216}。
1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}。答 \dfrac{91}{216}
1-\dfrac{125}{216}=\dfrac{91}{216}。答 \dfrac{91}{216}
2
さいころを3回投げるとき、(1) 目の積が偶数 (2) 出た目の最大値が5 となる確率をそれぞれ求めよ。
解答
(1) 積が奇数＝3回とも奇数で \left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18。よって 1-\dfrac18=\dfrac78。
(2) すべて5以下 \left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216} から、すべて4以下 \left(\dfrac46\right)^3=\dfrac{64}{216} を引いて \dfrac{61}{216}。
答 (1) \dfrac78 (2) \dfrac{61}{216}
(2) すべて5以下 \left(\dfrac56\right)^3=\dfrac{125}{216} から、すべて4以下 \left(\dfrac46\right)^3=\dfrac{64}{216} を引いて \dfrac{61}{216}。
答 (1) \dfrac78 (2) \dfrac{61}{216}
3
さいころを3回投げるとき、最大値が5かつ最小値が2である確率を求めよ。
解答
「すべて2〜5」から「すべて3〜5」と「すべて2〜4」を引き、両方で引いた「すべて3〜4」を足し戻す。
\dfrac{4^3-3^3-3^3+2^3}{216}=\dfrac{64-27-27+8}{216}=\dfrac{18}{216}=\dfrac{1}{12}。
（検算：目の組が {2,5,3}・{2,5,4} で各 3!=6 通り、{2,2,5}・{2,5,5} で各3通り、計18通り）
答 \dfrac{1}{12}
\dfrac{4^3-3^3-3^3+2^3}{216}=\dfrac{64-27-27+8}{216}=\dfrac{18}{216}=\dfrac{1}{12}。
（検算：目の組が {2,5,3}・{2,5,4} で各 3!=6 通り、{2,2,5}・{2,5,5} で各3通り、計18通り）
答 \dfrac{1}{12}
注意「最大値が5」を「少なくとも1つ5」とだけ考えて6を除き忘れるミス。