組合せ _n\mathrm{C}_r（選ぶだけ・図形・最短経路）
着眼点並べ方を区別しないなら C。最短経路は「右 a 回・上 b 回の並べ方」なので _{a+b}\mathrm{C}_a。
{}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=\frac{n!}{r!\,(n-r)!},\qquad {}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}
- 特定の人を含む：その人を先に入れて残りから選ぶ
- ○○を通る最短経路：（そこまで）×（そこから）
例題
1
10人から委員を3人選ぶ方法は何通りか。また、特定の人Aを含む選び方は何通りか。
解答
{}_{10}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120 通り。
Aを含む：残り9人から2人 {}_{9}\mathrm{C}_{2}=36 通り。
答 120通り、36通り
Aを含む：残り9人から2人 {}_{9}\mathrm{C}_{2}=36 通り。
答 120通り、36通り
2
碁盤目状の道で、点 (0,0) から点 (5,3) まで右か上にだけ進む最短経路は何通りか。また点 (2,1) を通るものは何通りか。
解答
右5回・上3回の並べ方なので {}_{8}\mathrm{C}_{3}=56 通り。
(0,0)\to(2,1)：{}_{3}\mathrm{C}_{1}=3 通り。(2,1)\to(5,3)：右3回・上2回で {}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 通り。
3\times10=30 通り。
答 56通り、30通り
(0,0)\to(2,1)：{}_{3}\mathrm{C}_{1}=3 通り。(2,1)\to(5,3)：右3回・上2回で {}_{5}\mathrm{C}_{2}=10 通り。
3\times10=30 通り。
答 56通り、30通り
確認問題
1
正八角形の頂点を3つ結んでできる三角形の個数は？
答え
{}_{8}\mathrm{C}_{3}=56 個（どの3点も一直線上にない）
2
正八角形の対角線の本数は？
答え
{}_{8}\mathrm{C}_{2}-8=28-8=20 本（2点を結ぶ線分から辺を除く）