重複組合せ（○と｜の並べ方）
着眼点「n 種類から重複を許して r 個取る」＝「○ r 個と仕切り｜(n-1) 本の並べ方」。
{}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}
x+y+z=r の0以上の整数解の個数も同じ形：○ r 個と｜2本で {}_{r+2}\mathrm{C}_{2}。
例題
1
x+y+z=8 を満たす0以上の整数の組 (x,y,z) は何組か。
解答
○8個と｜2本の並べ方なので {}_{10}\mathrm{C}_{2}=45。
答 45組
答 45組
2
x+y+z=8 を満たす正の整数の組は何組か。
解答
x=X+1,\ y=Y+1,\ z=Z+1（X,Y,Z\ge0）とおくと X+Y+Z=5。
○5個と｜2本で {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21。
（別解：8個の○の間7か所から仕切り2か所を選ぶ {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21）
答 21組
○5個と｜2本で {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21。
（別解：8個の○の間7か所から仕切り2か所を選ぶ {}_{7}\mathrm{C}_{2}=21）
答 21組
ポイント記号 \mathrm{H} は教科書によっては扱わない。答案では「○と｜の並べ方」で説明すれば十分。
確認問題
1
4種類の果物から重複を許して6個選ぶ方法は？
答え
○6個と｜3本で {}_{9}\mathrm{C}_{3}=84 通り