3状態以上の推移（対称性で1本の漸化式に）
着眼点状態が3つ以上でも、確率の和＝1と対称性（BとCは同じ立場）を使えば、変数は1つに減ることが多い。
- 各状態の確率を a_n,b_n,c_n とおき、a_n+b_n+c_n=1 を書く
- 対称な状態は等しい（例：Aから出発すれば b_n=c_n）
- 知りたい状態について a_{n+1}=(\text{他の状態からAへ来る確率}) の式を立て、2状態型に帰着
対称性が使えないときは、a_{n+1},b_{n+1} の連立漸化式を立て、和や差を取って解く。
例題
1
正三角形ABCの頂点Aに点Pがある。1秒ごとに、Pは今いる頂点以外の2頂点のどちらかへ確率 \dfrac12 ずつで移る。n 秒後にPがAにいる確率 p_n、Bにいる確率 q_n を求めよ。
解答
n+1 秒後にAにいるのは、n 秒後にA以外（確率 1-p_n）にいて、Aへ移る（\frac12）とき。
p_{n+1}=\dfrac12(1-p_n)、p_0=1。
c=\dfrac12(1-c) より c=\dfrac13。p_n-\dfrac13=\left(-\dfrac12\right)^n\left(1-\dfrac13\right)。
p_n=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n 対称性から q_n=\dfrac{1-p_n}{2}=\dfrac13-\dfrac13\left(-\dfrac12\right)^n。
（検算：p_1=0,\ p_2=\frac12、q_1=\frac12。直接考えても一致）
p_{n+1}=\dfrac12(1-p_n)、p_0=1。
c=\dfrac12(1-c) より c=\dfrac13。p_n-\dfrac13=\left(-\dfrac12\right)^n\left(1-\dfrac13\right)。
p_n=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n 対称性から q_n=\dfrac{1-p_n}{2}=\dfrac13-\dfrac13\left(-\dfrac12\right)^n。
（検算：p_1=0,\ p_2=\frac12、q_1=\frac12。直接考えても一致）
2
正四面体ABCDの頂点Aに点Pがある。1秒ごとに、Pは他の3頂点のどれかへ確率 \dfrac13 ずつで移る。n 秒後にPがAにいる確率 p_n を求めよ。
解答
p_{n+1}=\dfrac13(1-p_n)、p_0=1。
c=\dfrac13(1-c) より c=\dfrac14。
p_n=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^n （検算：p_1=\frac14-\frac14=0 ✓、p_2=\frac14+\frac{3}{4}\cdot\frac19=\frac13。Aを出て他の頂点にいれば次にAへ戻る確率は \frac13 なので一致 ✓）
c=\dfrac13(1-c) より c=\dfrac14。
p_n=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^n （検算：p_1=\frac14-\frac14=0 ✓、p_2=\frac14+\frac{3}{4}\cdot\frac19=\frac13。Aを出て他の頂点にいれば次にAへ戻る確率は \frac13 なので一致 ✓）
ポイントn\to\infty で p_n\to\frac13（三角形）、\frac14（四面体）。「長時間たつと均等になる」と意味で確かめられる。
注意「Aにいる → 次もA」の項を入れ忘れない（この例では0だが、とどまる確率がある問題では必要）。