独立試行・反復試行の確率
着眼点確率 p の試行を n 回やってちょうど r 回起こる確率は「何回目に起こるかの選び方 C」×「確率の積」。
{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^r(1-p)^{n-r}
「先に3勝した方が勝ち」型は、最後の試合で決まるので「最終試合の前までに2勝 k 敗」×「最終試合に勝つ」で数える。
例題
1
さいころを5回投げるとき、1または2の目がちょうど2回出る確率を求めよ。
解答
1回の確率 \dfrac13。
{}_{5}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3=10\cdot\dfrac19\cdot\dfrac{8}{27}=\dfrac{80}{243}。
答 \dfrac{80}{243}
{}_{5}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3=10\cdot\dfrac19\cdot\dfrac{8}{27}=\dfrac{80}{243}。
答 \dfrac{80}{243}
2
A,Bが試合をし、各試合でAが勝つ確率は \dfrac23（引き分けなし）。先に3勝した方を優勝とする。Aが優勝する確率を求めよ。
解答
Aが優勝するのは、最終試合でAが勝ち、それまでにAが2勝・Bが k 勝 (k=0,1,2) のとき。
k=0：\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{8}{27}
k=1：{}_{3}\mathrm{C}_{1}\left(\dfrac23\right)^2\dfrac13\cdot\dfrac23=3\cdot\dfrac{8}{81}=\dfrac{8}{27}
k=2：{}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac23\right)^2\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23=6\cdot\dfrac{8}{243}=\dfrac{16}{81}
合計 \dfrac{24}{81}+\dfrac{24}{81}+\dfrac{16}{81}=\dfrac{64}{81}。
答 \dfrac{64}{81}
k=0：\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{8}{27}
k=1：{}_{3}\mathrm{C}_{1}\left(\dfrac23\right)^2\dfrac13\cdot\dfrac23=3\cdot\dfrac{8}{81}=\dfrac{8}{27}
k=2：{}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac23\right)^2\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23=6\cdot\dfrac{8}{243}=\dfrac{16}{81}
合計 \dfrac{24}{81}+\dfrac{24}{81}+\dfrac{16}{81}=\dfrac{64}{81}。
答 \dfrac{64}{81}
注意優勝決定型で単純に {}_{5}\mathrm{C}_{3}p^3q^2 とすると、4試合目までに優勝が決まった後も試合を続けた場合を含んでしまう。
確認問題
1
数直線上の原点にある点が、硬貨の表で +1、裏で -1 動く。6回投げた後に座標2にいる確率は？
答え
表 h 回で h-(6-h)=2 より h=4。{}_{6}\mathrm{C}_{4}\left(\frac12\right)^6=\frac{15}{64}