2状態の推移 p_{n+1}=ap_n+b
着眼点「n 回後の状態」から「n+1 回後」への1ステップだけを考える。状態が2つなら一方の確率 p_n、もう一方は 1-p_n。
- 状態を2つに決める（晴れ／雨、偶数／奇数、Aにいる／いない など）
- n 回後 → n+1 回後の遷移を樹形図で書き、p_{n+1}=\alpha p_n+\beta(1-p_n) を立てる
- p_{n+1}=ap_n+b を、特性方程式 c=ac+b の解 c を使って p_{n+1}-c=a(p_n-c) と変形
- p_n=c+(p_1-c)a^{n-1}
例題
1
ある町では、晴れの日の翌日が晴れる確率は \dfrac23、雨の日の翌日が晴れる確率は \dfrac14 である（天気は晴れか雨のみ）。1日目が晴れのとき、n 日目が晴れである確率 p_n を求めよ。
解答
p_{n+1}=\dfrac23p_n+\dfrac14(1-p_n)=\dfrac{5}{12}p_n+\dfrac14。
c=\dfrac{5}{12}c+\dfrac14 より c=\dfrac37。
p_{n+1}-\dfrac37=\dfrac{5}{12}\left(p_n-\dfrac37\right)、p_1-\dfrac37=\dfrac47。
p_n=\frac37+\frac47\left(\frac{5}{12}\right)^{n-1} （検算：p_2=\frac37+\frac47\cdot\frac{5}{12}=\frac{9+5}{21}=\frac23。直接計算と一致）
c=\dfrac{5}{12}c+\dfrac14 より c=\dfrac37。
p_{n+1}-\dfrac37=\dfrac{5}{12}\left(p_n-\dfrac37\right)、p_1-\dfrac37=\dfrac47。
p_n=\frac37+\frac47\left(\frac{5}{12}\right)^{n-1} （検算：p_2=\frac37+\frac47\cdot\frac{5}{12}=\frac{9+5}{21}=\frac23。直接計算と一致）
2
さいころを n 回投げるとき、1の目が出た回数が偶数（0回を含む）である確率 p_n を求めよ。
解答
n+1 回目で偶数回になるのは「n 回で偶数回 → 1以外」か「n 回で奇数回 → 1」。
p_{n+1}=\dfrac56p_n+\dfrac16(1-p_n)=\dfrac23p_n+\dfrac16。
c=\dfrac23c+\dfrac16 より c=\dfrac12。p_1=\dfrac56 なので p_1-\dfrac12=\dfrac13。
p_n-\dfrac12=\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}=\dfrac12\left(\dfrac23\right)^{n}。
p_n=\frac12+\frac12\left(\frac23\right)^n （検算：n=1 で \frac12+\frac13=\frac56 ✓。n=2 で \frac12+\frac29=\frac{13}{18}、直接 \left(\frac56\right)^2+\left(\frac16\right)^2=\frac{26}{36}=\frac{13}{18} ✓）
p_{n+1}=\dfrac56p_n+\dfrac16(1-p_n)=\dfrac23p_n+\dfrac16。
c=\dfrac23c+\dfrac16 より c=\dfrac12。p_1=\dfrac56 なので p_1-\dfrac12=\dfrac13。
p_n-\dfrac12=\dfrac13\left(\dfrac23\right)^{n-1}=\dfrac12\left(\dfrac23\right)^{n}。
p_n=\frac12+\frac12\left(\frac23\right)^n （検算：n=1 で \frac12+\frac13=\frac56 ✓。n=2 で \frac12+\frac29=\frac{13}{18}、直接 \left(\frac56\right)^2+\left(\frac16\right)^2=\frac{26}{36}=\frac{13}{18} ✓）
ポイント最後に n=1,2 を代入して直接計算と照合する検算を習慣にする（指数のずれ n と n-1 をここで見つける）。
注意初項を p_0 で考えるか p_1 で考えるかで指数が1ずれる。問題文の「最初」が何回目かを確認。