分散 V(X) と標準偏差 \sigma(X)
着眼点計算は「2乗の平均 − 平均の2乗」で。定義式（偏差の2乗の平均）は値が整数のとき以外は遠回り。
V(X)=E\big((X-m)^2\big)=E(X^2)-\{E(X)\}^2\sigma(X)=\sqrt{V(X)}
例題
1
1個のさいころを投げ、出た目を3で割った余りを X とする（X=0,1,2 がそれぞれ確率 \frac13）。V(X) と \sigma(X) を求めよ。
解答
E(X)=1。E(X^2)=0^2\cdot\frac13+1^2\cdot\frac13+2^2\cdot\frac13=\frac53V(X)=\frac53-1^2=\frac23,\quad \sigma(X)=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{3}
2
赤玉3個・白玉2個から2個同時に取り出したときの赤玉の個数 X（P(X=0)=\frac1{10},\ P(X=1)=\frac6{10},\ P(X=2)=\frac3{10}）の分散と標準偏差を求めよ。
解答
E(X)=\frac65。E(X^2)=0\cdot\frac1{10}+1\cdot\frac6{10}+4\cdot\frac3{10}=\frac{18}{10}=\frac95V(X)=\frac95-\left(\frac65\right)^2=\frac{45}{25}-\frac{36}{25}=\frac{9}{25},\quad \sigma(X)=\frac35
注意\{E(X)\}^2 と E(X^2) の取り違え。分散が負になったら必ずどこかが間違っている。
確認問題
1
X が 1,\,3 をそれぞれ確率 \frac12 でとるとき、V(X) は？
答え
E(X)=2,\ E(X^2)=5 より V(X)=5-4=1。