標本平均の分布
着眼点標本平均 \overline{X} は、平均は母平均のまま、標準偏差は \sqrt{n} 分の1になる。
母平均 m、母標準偏差 \sigma の母集団から大きさ n の無作為標本をとると
E(\overline{X})=m,\quad \sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt n}n が大きいとき \overline{X} は近似的に N\left(m,\,\dfrac{\sigma^2}{n}\right) に従う。
例題
1
母平均60、母標準偏差12の母集団から大きさ36の標本をとる。標本平均 \overline{X} の期待値と標準偏差を求めよ。
解答
E(\overline{X})=60,\quad \sigma(\overline{X})=\frac{12}{\sqrt{36}}=2
2
上の標本で P(\overline{X}\ge63) を求めよ。
解答
\overline{X} は近似的に N(60,\,2^2)。63\to Z=\frac{63-60}{2}=1.5。P(Z\ge1.5)=0.5-0.4332=0.0668
注意割るのは n ではなく \sqrt n。分散で考えるなら \dfrac{\sigma^2}{n}。