二項分布 B(n,\,p)
着眼点「1回の確率が p の試行を n 回独立にくり返したときの回数」なら二項分布。平均・分散は公式で一発。
P(X=r)={}_n\mathrm{C}_r\,p^r q^{n-r}\quad(q=1-p)E(X)=np,\quad V(X)=npq,\quad \sigma(X)=\sqrt{npq}
例題
1
1枚の硬貨を4回投げ、表の出る回数を X とする。P(X=3) と E(X),\ V(X) を求めよ。
解答
X は B\left(4,\,\frac12\right) に従う。P(X=3)={}_4\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^1=\frac{4}{16}=\frac14E(X)=4\cdot\frac12=2,\quad V(X)=4\cdot\frac12\cdot\frac12=1
2
さいころを180回投げ、1の目が出る回数を X とする。Y=2X-10 の期待値と標準偏差を求めよ。
解答
X は B\left(180,\,\frac16\right) に従う。E(X)=180\cdot\frac16=30,\quad V(X)=180\cdot\frac16\cdot\frac56=25,\quad \sigma(X)=5E(Y)=2\cdot30-10=50,\quad \sigma(Y)=2\cdot5=10
ポイントE=np は、1回ごとに「起これば1・起こらなければ0」の確率変数を n 個足したもの、と説明すると納得しやすい。