和の期待値・独立な確率変数の分散
着眼点和の期待値はいつでも足せる。分散を足せるのは「独立」のときだけ。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)\quad(\text{常に成り立つ})
X,\,Y が独立なら
E(XY)=E(X)E(Y),\quad V(X+Y)=V(X)+V(Y)aX+bY なら E=aE(X)+bE(Y)、独立のとき V=a^2V(X)+b^2V(Y)。
例題
1
1個のさいころの目 X について E(X)=\frac72,\ V(X)=\frac{35}{12} である。2個のさいころの目の和 S の期待値と分散を求めよ。
解答
2個の目 X_1,\,X_2 は独立。E(S)=\frac72+\frac72=7,\quad V(S)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}
2
独立な X,\,Y について E(X)=2,\ V(X)=1,\ E(Y)=-1,\ V(Y)=3。W=3X-2Y の期待値と分散、および E(XY) を求めよ。
解答
E(W)=3\cdot2-2\cdot(-1)=8V(W)=9\cdot1+4\cdot3=21（-2Y の分散は (-2)^2V(Y) なので足し算になる）E(XY)=2\cdot(-1)=-2
注意V(X-Y)=V(X)-V(Y) は誤り。独立なら V(X-Y)=V(X)+V(Y)。