aX+b の期待値・分散
着眼点足した定数 b は分散に効かない。かけた a は分散では2乗になる。
E(aX+b)=aE(X)+bV(aX+b)=a^2V(X),\quad \sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X)
特に Z=\dfrac{X-m}{\sigma}（標準化）とすると E(Z)=0,\ V(Z)=1。
例題
1
E(X)=3,\ V(X)=4 のとき、Y=-2X+5 の期待値・分散・標準偏差を求めよ。
解答
E(Y)=-2\cdot3+5=-1V(Y)=(-2)^2\cdot4=16,\quad \sigma(Y)=|-2|\cdot2=4
2
あるテストの得点 X は E(X)=60,\ \sigma(X)=15 である。T=aX+b\ (a>0) の平均を50、標準偏差を10にしたい。a,\,b を求めよ。
解答
\sigma(T)=a\cdot15=10 より a=\frac23。
E(T)=\frac23\cdot60+b=40+b=50 より b=10。
答え a=\frac23,\ b=10
E(T)=\frac23\cdot60+b=40+b=50 より b=10。
答え a=\frac23,\ b=10
注意V(-2X)=-4V(X) や \sigma(-2X)=-2\sigma(X) と書くミス。分散・標準偏差は負にならない。