中間値の定理
着眼点「解が少なくとも1つある」を示せと言われたら、連続関数の端点の値の符号が逆であることを示す。
f(x) が [a,b] で連続で f(a)f(b)<0 なら、f(c)=0 となる c が a<c<b に少なくとも1つある。
例題
1
方程式 x^3+x-1=0 は 0<x<1 に実数解をもつことを示せ。
解答
f(x)=x^3+x-1 は連続。f(0)=-1<0、f(1)=1>0。中間値の定理より 0<x<1 に解をもつ。
2
方程式 \cos x=x は 0<x<\frac{\pi}{2} に実数解をもつことを示せ。
解答
g(x)=\cos x-x は連続。g(0)=1>0、g\left(\frac\pi2\right)=-\frac\pi2<0。中間値の定理より 0<x<\frac\pi2 に解をもつ。
注意「連続」の一言を書き忘れない。解が「ちょうど1つ」なら、加えて単調性（微分）が必要。