片側極限と「極限が存在しない」
着眼点絶対値・ガウス記号・\frac{1}{x-a} は、右側 x\to a+0 と左側 x\to a-0 を別々に計算する。一致すれば極限あり。
例題
1
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x} は存在するか。
解答
x\to+0：\frac{x}{x}=1。x\to-0：\frac{-x}{x}=-1。
右側と左側が一致しないので、極限は存在しない。
右側と左側が一致しないので、極限は存在しない。
2
\displaystyle\lim_{x\to1+0}\frac{1}{x-1} と \displaystyle\lim_{x\to1-0}\frac{1}{x-1} を求めよ。
解答
x\to1+0 では x-1\to+0 なので +\infty。
x\to1-0 では x-1\to-0 なので -\infty。
x\to1-0 では x-1\to-0 なので -\infty。
注意\frac{1}{x-1} の x\to1 を「\infty」と書くのは誤り。片側で符号が違うので、極限はない。