\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1
着眼点\sin(\text{何か}) には同じ「何か」を分母にそろえる。1-\cos x は 1+\cos x を掛けて \sin^2x にする。
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12（x は弧度法）
例題
1
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x} を求めよ。
解答
\frac{\sin3x}{x}=3\cdot\frac{\sin3x}{3x}\to3\cdot1=3答え 3
2
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2} を求めよ。
解答
\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\frac{\sin^2x}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\cos x}\to1\cdot\frac12答え \dfrac12
注意x\to\infty では使えない：\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0（はさみうち）。x\to0 の形に直してから使う。
確認問題
1
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan2x}{x}
答え
2
2
\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\frac1x
答え
1（t=\frac1x\to0 とおくと \frac{\sin t}{t}）