e に関する極限
着眼点(1+\text{小})^{\text{大}} の形は e の定義へ。指数・対数の \frac00 は \frac{e^h-1}{h}\to1、\frac{\log(1+h)}{h}\to1 を使う。
\lim_{h\to0}(1+h)^{\frac1h}=e,\quad \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1,\quad \lim_{h\to0}\frac{\log(1+h)}{h}=1
例題
1
\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac2x\right)^x を求めよ。
解答
t=\frac{x}{2} とおくと x=2t、t\to\infty。\left(1+\frac1t\right)^{2t}=\left\{\left(1+\frac1t\right)^t\right\}^2\to e^2答え e^2
2
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x} を求めよ。
解答
\frac{e^{3x}-1}{x}=3\cdot\frac{e^{3x}-1}{3x}\to3\cdot1=3答え 3
注意\left(1+\frac1n\right)^n\to1^\infty=1 としない。1^\infty も不定形。
確認問題
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n
答え
\frac1e（\left(1-\frac1n\right)^n=\left\{\left(1+\frac{1}{-n}\right)^{-n}\right\}^{-1}\to e^{-1}）