無限等比級数
着眼点収束条件は「初項 =0 または |r|<1」。和の公式の前に必ず収束条件を確認する。
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=\frac{a}{1-r}\quad(|r|<1)a=0 なら和は 0。a\ne0 かつ |r|\ge1 なら発散。
例題
1
循環小数 0.\dot2\dot7 を分数で表せ。
解答
0.2727\cdots=\frac{27}{100}+\frac{27}{100^2}+\cdots は初項 \frac{27}{100}、公比 \frac1{100} の無限等比級数。\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac1{100}}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}答え \dfrac3{11}
2
無限級数 x+x(1-x)+x(1-x)^2+\cdots が収束する x の範囲と、その和を求めよ。
解答
初項 x、公比 1-x。収束条件は x=0 または |1-x|<1、すなわち 0\le x<2。
x=0 のとき和は 0。
0<x<2 のとき \dfrac{x}{1-(1-x)}=1。
答え 0\le x<2 で収束し、和は x=0 で 0、0<x<2 で 1
x=0 のとき和は 0。
0<x<2 のとき \dfrac{x}{1-(1-x)}=1。
答え 0\le x<2 で収束し、和は x=0 で 0、0<x<2 で 1
注意初項 =0 の場合を忘れやすい（例2の x=0）。和の関数が不連続になる典型。