部分和を求めてから極限（部分分数分解）
着眼点等比でない級数は、まず第 n 項までの部分和 S_n を求め、\lim S_n を計算する。分数なら部分分数分解で消し合わせる。
\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}
発散の判定：\lim a_n\ne0 なら \sum a_n は発散する。
発散の判定：\lim a_n\ne0 なら \sum a_n は発散する。
例題
1
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} を求めよ。
解答
S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}\to1答え 1
2
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} を求めよ。
解答
\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\dfrac12\left(\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k+1}\right) より S_n=\frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right)\to\frac12答え \dfrac12
注意逆は成り立たない：a_n\to0 でも収束するとは限らない（\sum\frac1n は発散）。
確認問題
1
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1} は収束するか。
答え
発散（第 n 項 \frac{n}{n+1}\to1\ne0）