極限値から係数を決める
着眼点分母 \to0 で極限が有限なら、分子 \to0 が必要。これで係数の関係を出し、実際に計算して十分性を確かめる。
例題
1
\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}=3 となる a,b を求めよ。
解答
分母 \to0 なので分子 \to0 が必要：1+a+b=0、b=-1-a。
このとき分子 =x^2+ax-1-a=(x-1)(x+1+a) なので \lim_{x\to1}(x+1+a)=2+a=3答え a=1,\ b=-2
このとき分子 =x^2+ax-1-a=(x-1)(x+1+a) なので \lim_{x\to1}(x+1+a)=2+a=3答え a=1,\ b=-2
2
\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{a\sqrt{x+2}-4}{x-2}=b となる a,b を求めよ。
解答
分子 \to0 が必要：2a-4=0 より a=2。
\frac{2\left(\sqrt{x+2}-2\right)}{x-2}=\frac{2(x-2)}{(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\frac{2}{\sqrt{x+2}+2}\to\frac24=\frac12答え a=2,\ b=\dfrac12
\frac{2\left(\sqrt{x+2}-2\right)}{x-2}=\frac{2(x-2)}{(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\frac{2}{\sqrt{x+2}+2}\to\frac24=\frac12答え a=2,\ b=\dfrac12
注意「分子 \to0」は必要条件。その後に極限を計算して条件を満たすことを確認するまでが解答。