関数の連続性
着眼点x=a で連続 ⇔ 「左側極限 = 右側極限 = f(a)」。つなぎ目ごとに3つの値をそろえる条件を立てる。
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)多項式・分数関数（定義域内）・三角・指数・対数関数は定義域で連続。
例題
1
f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\ (x\ne1)、f(1)=a が x=1 で連続となる a を求めよ。
解答
x\ne1 で f(x)=x+1 なので \displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=2。連続の条件は f(1)=2。答え a=2
2
f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n+1}+ax+b}{x^{2n}+1} がすべての実数 x で連続となる a,b を求めよ。
解答
|x|<1：x^{2n}\to0 より f(x)=ax+b
|x|>1：x^{2n} で割ると \dfrac{x+\frac{ax+b}{x^{2n}}}{1+\frac1{x^{2n}}}\to x
x=1：f(1)=\dfrac{1+a+b}{2}、x=-1：f(-1)=\dfrac{-1-a+b}{2}
x=1 で連続：a+b=1=\dfrac{1+a+b}{2} → a+b=1
x=-1 で連続：-a+b=-1=\dfrac{-1-a+b}{2} → -a+b=-1
答え a=1,\ b=0（このとき f(x)=x となり確かに連続）
|x|>1：x^{2n} で割ると \dfrac{x+\frac{ax+b}{x^{2n}}}{1+\frac1{x^{2n}}}\to x
x=1：f(1)=\dfrac{1+a+b}{2}、x=-1：f(-1)=\dfrac{-1-a+b}{2}
x=1 で連続：a+b=1=\dfrac{1+a+b}{2} → a+b=1
x=-1 で連続：-a+b=-1=\dfrac{-1-a+b}{2} → -a+b=-1
答え a=1,\ b=0（このとき f(x)=x となり確かに連続）
注意|x|=1 のときは x^{2n}=1 なので、|x|<1・|x|>1 の式に入れず別に計算する。