r^n の極限と場合分け
着眼点r^n を含む式は、|r| と 1 の大小で場合分け。|r|>1 のときは r^n（いちばん大きい底）で割る。
| r の範囲 | \displaystyle\lim_{n\to\infty} r^n |
|---|---|
| r>1 | \infty（発散） |
| r=1 | 1 |
| -1<r<1 | 0 |
| r\le -1 | 振動（極限なし） |
例題
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3^n-2^n}{3^n+2^n} を求めよ。
解答
分母・分子を 3^n で割る。\frac{1-\left(\frac23\right)^n}{1+\left(\frac23\right)^n}\to\frac{1-0}{1+0}=1答え 1
2
r\ne-1 のとき \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{r^n+1} を求めよ。
解答
(i) |r|<1：r^n\to0 より \frac{0}{0+1}=0
(ii) r=1：\frac{1}{1+1}=\frac12
(iii) |r|>1：r^n で割ると \dfrac{r}{1+\frac{1}{r^n}}、\frac1{r^n}\to0 より r
答え |r|<1 で 0、r=1 で \frac12、|r|>1 で r
(ii) r=1：\frac{1}{1+1}=\frac12
(iii) |r|>1：r^n で割ると \dfrac{r}{1+\frac{1}{r^n}}、\frac1{r^n}\to0 より r
答え |r|<1 で 0、r=1 で \frac12、|r|>1 で r
注意r=1 と r=-1 を場合分けから落としやすい。r=-1 は (-1)^n が振動するので別扱い。
確認問題
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+5^n}{5^{n+1}}
答え
\frac15（5^{n} で割ると \frac{2(2/5)^n+1}{5}\to\frac15）