不定形 \frac{\infty}{\infty}・\infty-\infty の崩し方
着眼点まず代入して形を見る。\frac{\infty}{\infty} なら分母の最高次で割る、\infty-\infty で根号があれば有理化。
- \frac{\infty}{\infty}：分母・分子を分母の最高次の項で割る（\frac{1}{n}\to0 を作る）。
- \infty-\infty（根号あり）：\sqrt{A}-B=\dfrac{A-B^2}{\sqrt{A}+B} と有理化。
- \infty-\infty（多項式）：最高次でくくる。n^3-n^2=n^3\left(1-\frac1n\right)\to\infty
例題
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n+1}{2n^2+5} を求めよ。
解答
分母・分子を n^2 で割る。\frac{3-\frac1n+\frac1{n^2}}{2+\frac5{n^2}}\to\frac{3}{2}答え \dfrac32
2
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right) を求めよ。
解答
有理化する。\sqrt{n^2+3n}-n=\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}分母・分子を n で割って \frac{3}{\sqrt{1+\frac3n}+1}\to\frac{3}{2}答え \dfrac32
注意「\infty-\infty=0」「\frac{\infty}{\infty}=1」としない。不定形は形を変えるまで値が決まらない。
確認問題
1
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n^2}
答え
0（n^2 で割ると \frac{2/n+1/n^2}{1}\to0）
2
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)
答え
0（有理化で \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0）