漸化式で決まる数列の極限
着眼点a_{n+1}=pa_n+q 型は、極限値の候補 \alpha=p\alpha+q を引いて等比数列にする。一般項が出ないときは |a_{n+1}-\alpha|\le k|a_n-\alpha|（0<k<1）を示す。
a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\ \Rightarrow\ a_n-\alpha=(a_1-\alpha)p^{n-1}|p|<1 なら a_n\to\alpha
例題
1
a_1=1,\ a_{n+1}=\frac12a_n+3 のとき \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n を求めよ。
解答
\alpha=\frac12\alpha+3 より \alpha=6。a_{n+1}-6=\frac12(a_n-6)a_n-6=(1-6)\left(\frac12\right)^{n-1}=-5\left(\frac12\right)^{n-1}\to0
答え 6
答え 6
2
a_1=1,\ a_{n+1}=\sqrt{a_n+2} のとき、|a_{n+1}-2|\le\frac12|a_n-2| を示し、\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n を求めよ。
解答
a_n>0 は明らか。|a_{n+1}-2|=\left|\sqrt{a_n+2}-2\right|=\frac{|a_n-2|}{\sqrt{a_n+2}+2}\le\frac{|a_n-2|}{2}（分母 \ge 2）。繰り返して |a_n-2|\le\left(\frac12\right)^{n-1}|a_1-2|=\left(\frac12\right)^{n-1}\to0。はさみうちの原理より答え 2
注意「極限を \alpha とおいて \alpha=p\alpha+q」だけでは、収束することを示していないので答案として不十分。