平方完成と頂点
着眼点すべての出発点。x^2 の係数でくくり、x の係数の半分の2乗を足して引く。
y=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}
頂点 \left(-\dfrac{b}{2a},\ -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right)、軸 x=-\dfrac{b}{2a}。a>0 で下に凸、a<0 で上に凸。
例題
1
y=2x^2-8x+5 の頂点を求めよ。
解答
2(x^2-4x)+5=2\{(x-2)^2-4\}+5=2(x-2)^2-3頂点 (2,\ -3)。
2
y=-x^2+3x+1 の頂点を求めよ。
解答
-(x^2-3x)+1=-\left\{\left(x-\tfrac32\right)^2-\tfrac94\right\}+1=-\left(x-\tfrac32\right)^2+\tfrac{13}{4}頂点 \left(\tfrac32,\ \tfrac{13}4\right)。（検算: x=\tfrac32 を代入すると -\tfrac94+\tfrac92+1=\tfrac{13}4）
ポイント検算は「頂点の x 座標を元の式に代入して y 座標が合うか」。
注意くくり出した係数を、引いた定数にも掛け忘れる（上の例1で 2\times(-4) を忘れる）ミスが最多。
確認問題
1
y=3x^2+6x-1 の頂点は。
答え
3(x+1)^2-4 より (-1,\ -4)