条件つき・置き換えの最大最小
着眼点文字を消すか置き換えて1変数の二次関数にする。そのとき新しい変数の範囲を必ず書く。
例題
1
x\ge0,\ y\ge0,\ x+y=2 のとき x^2+y^2 の最大値・最小値を求めよ。
解答
y=2-x、y\ge0 より 0\le x\le2。x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2最小値 2\ (x=y=1)、最大値 4\ (x=0,y=2 または x=2,y=0)。
2
y=(x^2-2x)^2-2(x^2-2x)+3 の最小値を求めよ。
解答
t=x^2-2x=(x-1)^2-1 より t\ge-1。y=t^2-2t+3=(t-1)^2+2t=1 は t\ge-1 に含まれるので最小値 2（x^2-2x=1 → x=1\pm\sqrt2）。
注意y=2-x から出る x の範囲（0\le x\le2）を落とすと最大値が出ない。