定義域つきの最大・最小
着眼点頂点が定義域の中にあるかを見る。最大・最小は「頂点」と「両端」の3か所のどれか。
手順: (1) 平方完成 (2) 軸と定義域を数直線に描く (3) 頂点と両端の y を比べる。
例題
1
y=x^2-4x+3\ (0\le x\le3) の最大値・最小値を求めよ。
解答
y=(x-2)^2-1。軸 x=2 は定義域内。
最小値 -1\ (x=2)。
端: x=0 で 3、x=3 で 0。軸から遠い x=0 の方が大きい。最大値 3\ (x=0)。
最小値 -1\ (x=2)。
端: x=0 で 3、x=3 で 0。軸から遠い x=0 の方が大きい。最大値 3\ (x=0)。
2
y=-x^2+2x+3\ (-2\le x\le2) の最大値・最小値を求めよ。
解答
y=-(x-1)^2+4。上に凸で軸 x=1 は定義域内 → 最大値 4\ (x=1)。
端: x=-2 で -4-4+3=-5、x=2 で 3。最小値 -5\ (x=-2)。
端: x=-2 で -4-4+3=-5、x=2 で 3。最小値 -5\ (x=-2)。
ポイント下に凸なら「軸から遠い端が最大」。端の値を両方計算しなくても判断できる。