判別式と共有点の個数
着眼点実数解の個数＝グラフと x 軸の共有点の個数。放物線と直線なら、連立して y を消した二次方程式の判別式。
D=b^2-4ac,\qquad \frac D4=b'^2-ac\ (b=2b'\ \text{のとき})
| D | 実数解 | x 軸との共有点 |
|---|---|---|
| D>0 | 異なる2つ | 2個 |
| D=0 | 重解 x=-\dfrac{b}{2a} | 1個（接する） |
| D<0 | なし | 0個 |
例題
1
x^2+2kx+k+6=0 が重解をもつ k と、そのときの重解を求めよ。
解答
\dfrac D4=k^2-(k+6)=(k-3)(k+2)=0 → k=3,\ -2。重解は x=-k。
k=3 のとき x=-3、k=-2 のとき x=2。
k=3 のとき x=-3、k=-2 のとき x=2。
2
放物線 y=x^2 と直線 y=2x+m の共有点の個数を調べよ。
解答
x^2-2x-m=0、\dfrac D4=1+m。
m>-1: 2個、m=-1: 1個（接する）、m<-1: 0個。
m>-1: 2個、m=-1: 1個（接する）、m<-1: 0個。
ポイントx の係数が偶数なら D/4 を使うと計算が軽い。
確認問題
1
x^2-4x+k=0 が実数解をもつ k の範囲は。
答え
D/4=4-k\ge0 より k\le4（「実数解をもつ」は重解も含むので \ge）