二次不等式
着眼点x^2 の係数を正にしてから、グラフが x 軸より上か下かで読む。解の公式で出す端点にも注意。
| a>0 のとき | D>0（解 \alpha<\beta） | D=0（重解 \alpha） | D<0 |
|---|---|---|---|
| ax^2+bx+c>0 | x<\alpha,\ \beta<x | \alpha 以外のすべての実数 | すべての実数 |
| ax^2+bx+c\ge0 | x\le\alpha,\ \beta\le x | すべての実数 | すべての実数 |
| ax^2+bx+c<0 | \alpha<x<\beta | 解なし | 解なし |
| ax^2+bx+c\le0 | \alpha\le x\le\beta | x=\alpha | 解なし |
例題
1
x^2-x-6<0 を解け。
解答
(x-3)(x+2)<0 → -2<x<3。
2
-x^2+4x-1\ge0 を解け。
解答
両辺に -1 を掛けて x^2-4x+1\le0（向きが逆）。x^2-4x+1=0 の解は x=2\pm\sqrt3。2-\sqrt3\le x\le2+\sqrt3
注意-1 を掛けたら不等号の向きを逆に。D\le0 のときは表で確認する（「解なし」と「すべての実数」を取り違えやすい）。