「すべての x で成り立つ」条件
着眼点常に正 ⇔ 下に凸で x 軸と共有点なし（a>0 かつ D<0）。x^2 の係数が文字なら0の場合を別に調べる。
\text{すべての }x\text{ で } ax^2+bx+c>0 \iff a>0\ \text{かつ}\ D<0\quad(a\ne0)
例題
1
すべての実数 x で x^2+2ax+a+2>0 となる a の範囲は。
解答
\dfrac D4=a^2-a-2=(a-2)(a+1)<0 → -1<a<2。
2
すべての実数 x で kx^2-2kx+3>0 となる k の範囲は。
解答
k=0 のとき 3>0 で成り立つ。
k\ne0 のとき k>0 かつ \dfrac D4=k^2-3k<0 → 0<k<3。
合わせて 0\le k<3。
k\ne0 のとき k>0 かつ \dfrac D4=k^2-3k<0 → 0<k<3。
合わせて 0\le k<3。
注意「二次不等式」と書いていなければ x^2 の係数が0の場合も含める。