対偶と背理法
着眼点結論が「〜でない」「無理数」「少なくとも一方」なら、直接より対偶か背理法が楽。
命題 p\Rightarrow q の対偶 \overline q\Rightarrow\overline p は真偽が一致する。「かつ」の否定は「または」、「または」の否定は「かつ」。
例題
1
整数 n について「n^2 が3の倍数ならば n は3の倍数」を示せ。
解答
対偶「n が3の倍数でないならば n^2 は3の倍数でない」を示す。n=3k\pm1（k は整数）とおくと n^2=9k^2\pm6k+1=3(3k^2\pm2k)+1 で3で割って1余る。よって対偶が真なので元の命題も真。
2
「x+y>2 ならば x>1 または y>1」を示せ。
解答
対偶は「x\le1 かつ y\le1 ならば x+y\le2」。辺々足せば x+y\le2 で明らかに真。よって元の命題も真。
注意背理法は「結論を否定して矛盾を導く」。対偶と混同して、仮定まで否定しない。