対称式は和と積で表す
着眼点x,y を入れ替えても変わらない式は、x+y と xy だけで書ける。値を直接代入しない。
x^2+y^2=(x+y)^2-2xyx^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2
例題
1
x+\dfrac1x=3 のとき、x^2+\dfrac1{x^2} と x^3+\dfrac1{x^3} を求めよ。
解答
x^2+\frac1{x^2}=3^2-2=7x^3+\frac1{x^3}=3^3-3\cdot1\cdot3=18（x\cdot\frac1x=1 が積）
2
x=\sqrt3+\sqrt2,\ y=\sqrt3-\sqrt2 のとき x^3+y^3 を求めよ。
解答
x+y=2\sqrt3,\ xy=3-2=1。x^3+y^3=(2\sqrt3)^3-3\cdot1\cdot2\sqrt3=24\sqrt3-6\sqrt3=18\sqrt3
ポイントx,y が分母に根号を含むときは、先に有理化してから和と積を作る。