\sqrt{a^2}=|a| と場合分け
着眼点\sqrt{a^2} は a ではなく |a|。中身の符号が変わる点で区切って場合分けする。
\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a & (a\ge0)\\ -a & (a<0)\end{cases}
例題
1
a=-3 のとき \sqrt{a^2} を求めよ。
解答
\sqrt{9}=3=|a|=-a。a のままだと -3 になり誤り。
2
P=\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+2x+1} を x の範囲で場合分けして簡単にせよ。
解答
P=|x-2|+|x+1|。区切りは x=-1,\ 2。
x<-1: P=-(x-2)-(x+1)=-2x+1
-1\le x<2: P=-(x-2)+(x+1)=3
x\ge2: P=(x-2)+(x+1)=2x-1
（検算: x=0 で 2+1=3、x=3 で 1+4=5=2\cdot3-1）
x<-1: P=-(x-2)-(x+1)=-2x+1
-1\le x<2: P=-(x-2)+(x+1)=3
x\ge2: P=(x-2)+(x+1)=2x-1
（検算: x=0 で 2+1=3、x=3 で 1+4=5=2\cdot3-1）
注意中身を2乗の形（(x-2)^2 など）に直してから |\ | を付ける。直さないまま外すミスが多い。