乗法公式と展開の工夫
着眼点公式を当てはめる前に「同じかたまりが作れないか」を見る。4つの積は組み合わせて共通部分を作る。
(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2,\quad (a+b)(a-b)=a^2-b^2(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3
例題
1
(x-2)^3 を展開せよ。
解答
(a-b)^3 の公式で a=x,\ b=2。x^3-3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2-2^3=x^3-6x^2+12x-8
2
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) を展開せよ。
解答
定数項の和が等しくなる組 (1,4),(2,3) で組む。(x+1)(x+4)=x^2+5x+4,\quad (x+2)(x+3)=x^2+5x+6t=x^2+5x とおくと (t+4)(t+6)=t^2+10t+24。=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24=x^4+10x^3+35x^2+50x+24（検算: x=1 で左辺 2\cdot3\cdot4\cdot5=120、右辺 1+10+35+50+24=120）
ポイント展開の答えは x=1 を代入して左右を比べると数秒で検算できる。
注意(a-b)^3 の符号は「+,-,+,-」と交互。-3a^2b と +3ab^2 を取り違えやすい。
確認問題
1
(2x-3y)^2 を展開せよ。
答え
4x^2-12xy+9y^2
2
(a+2)(a^2-2a+4) を展開せよ。
答え
a^3+8（a^3+b^3 の公式）