対数微分法
着眼点x^x のように底にも指数にも x がある、または積・商・累乗がたくさん重なっている式は、両辺の対数をとってから微分。
\log|y|=\cdots として両辺を x で微分：\dfrac{y'}{y}=\cdots、最後に y を掛ける。
例題
1
y=x^x\ (x>0) を微分せよ。
解答
\log y=x\log x。両辺を x で微分：\frac{y'}{y}=\log x+1答え y'=x^x(\log x+1)
2
y=\dfrac{(x+1)^2}{(x-2)^3} を微分せよ。
解答
\log|y|=2\log|x+1|-3\log|x-2| より \frac{y'}{y}=\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x-2}=\frac{-x-7}{(x+1)(x-2)}y'=\frac{(x+1)^2}{(x-2)^3}\cdot\frac{-(x+7)}{(x+1)(x-2)}=-\frac{(x+1)(x+7)}{(x-2)^4}
注意(x^x)'=x\cdot x^{x-1} は誤り。x^\alpha の公式は指数が定数のときだけ。