速度・加速度と近似式
着眼点速度は位置の微分、加速度は速度の微分。平面ではベクトルで扱い、速さは大きさ。近似式は「接線で置き換える」と覚える。
平面運動：\vec v=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)、\vec\alpha=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)、速さ |\vec v|
近似式：h が小さいとき f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h
x が 0 に近いとき (1+x)^p\fallingdotseq1+px、\sin x\fallingdotseq x、e^x\fallingdotseq1+x
近似式：h が小さいとき f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h
x が 0 に近いとき (1+x)^p\fallingdotseq1+px、\sin x\fallingdotseq x、e^x\fallingdotseq1+x
例題
1
点 P(r\cos\omega t,\ r\sin\omega t)（r,\omega>0）の速さと加速度の大きさを求めよ。
解答
\vec v=(-r\omega\sin\omega t,\ r\omega\cos\omega t) より |\vec v|=r\omega。
\vec\alpha=(-r\omega^2\cos\omega t,\ -r\omega^2\sin\omega t) より |\vec\alpha|=r\omega^2。
\vec\alpha=(-r\omega^2\cos\omega t,\ -r\omega^2\sin\omega t) より |\vec\alpha|=r\omega^2。
2
\sin31^\circ の近似値を小数第3位まで求めよ（\sqrt3=1.732,\ \pi=3.142）。
解答
1^\circ=\frac{\pi}{180}。f(x)=\sin x、a=\frac\pi6、h=\frac\pi{180} として \sin31^\circ\fallingdotseq\sin\frac\pi6+\cos\frac\pi6\cdot\frac{\pi}{180}=0.5+0.866\times0.01746\fallingdotseq0.515答え 約 0.515
注意近似式の h は必ず弧度法。度のまま 1 を入れると桁違いになる。