凹凸・変曲点・漸近線とグラフの概形
着眼点グラフは「定義域 → 対称性 → f'（増減）→ f''（凹凸）→ 端や漸近線での極限」の順に調べて表にまとめる。
f''(x)>0 で下に凸、f''(x)<0 で上に凸。f'' の符号が変わる点が変曲点。
漸近線：\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty なら x=a。\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\{f(x)-(mx+n)\}=0 なら y=mx+n。
漸近線：\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty なら x=a。\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\{f(x)-(mx+n)\}=0 なら y=mx+n。
例題
1
y=e^{-\frac{x^2}{2}} の変曲点を求めよ。
解答
y'=-xe^{-\frac{x^2}2}、y''=-e^{-\frac{x^2}2}+x^2e^{-\frac{x^2}2}=(x^2-1)e^{-\frac{x^2}2}。
x=\pm1 の前後で y'' の符号が変わる。
答え \left(\pm1,\ \dfrac{1}{\sqrt e}\right)
x=\pm1 の前後で y'' の符号が変わる。
答え \left(\pm1,\ \dfrac{1}{\sqrt e}\right)
2
y=\dfrac{x^2}{x-1} の漸近線と極値を求めよ。
解答
割り算して y=x+1+\dfrac{1}{x-1}。
漸近線：x=1 と y=x+1（\frac1{x-1}\to0）。
y'=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}。
x=0 で極大値 0、x=2 で極小値 4
漸近線：x=1 と y=x+1（\frac1{x-1}\to0）。
y'=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}。
x=0 で極大値 0、x=2 で極小値 4
ポイント分数関数は「割り算して 多項式 + 真分数」に直すと、斜めの漸近線と微分が一度に楽になる。