微分係数の定義と微分可能性
着眼点「\lim\frac{f(a+\square)-f(a)}{\square}」の形を見たら定義に戻す。\square をそろえるのがコツ。
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}微分可能 ⇒ 連続（逆は成り立たない：|x| は x=0 で連続だが微分不可能）。
例題
1
定義に従って (\sqrt x)' を求めよ（x>0）。
解答
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}=\frac{(x+h)-x}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt x\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt x}\to\frac{1}{2\sqrt x}答え \dfrac{1}{2\sqrt x}
2
f(x) が x=a で微分可能のとき、\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(a+3h)-f(a-h)}{h} を f'(a) で表せ。
解答
f(a) を引いて足す。\frac{f(a+3h)-f(a)}{3h}\cdot3+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\cdot1\to3f'(a)+f'(a)答え 4f'(a)
確認問題
1
f(x)=x|x| は x=0 で微分可能か。
答え
可能。\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h|h|}{h}=|h|\to0 より f'(0)=0