三角・指数・対数関数の導関数
着眼点この表は暗記。\log は自然対数（底 e）。底が e 以外なら \log a が付く。
| 関数 | 導関数 | 関数 | 導関数 |
|---|---|---|---|
| x^\alpha | \alpha x^{\alpha-1} | e^x | e^x |
| \sin x | \cos x | a^x | a^x\log a |
| \cos x | -\sin x | \log|x| | \dfrac1x |
| \tan x | \dfrac{1}{\cos^2x} | \log_a|x| | \dfrac{1}{x\log a} |
例題
1
y=e^{-x}\sin x を微分せよ。
解答
y'=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x=e^{-x}(\cos x-\sin x)
2
y=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) を微分せよ。
解答
y'=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}
注意(\cos x)'=-\sin x の符号、(\log f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)} の分子 f' を落としやすい。
確認問題
1
y=\log(\cos x)\ \left(0<x<\frac\pi2\right) を微分せよ。
答え
y'=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x
2
y=2^x を微分せよ。
答え
y'=2^x\log2