媒介変数表示の微分
着眼点x,y がともに t の式なら、それぞれ t で微分して割る。接線は「t の値 → 点と傾き」の順で出す。
\frac{dy}{dx}=\frac{\ \frac{dy}{dt}\ }{\frac{dx}{dt}}第2次導関数：\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}
例題
1
x=t^2+1,\ y=t^3-t で表される曲線の、t=2 に対応する点での接線を求めよ。
解答
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}。t=2 で点 (5,6)、傾き \dfrac{11}{4}。y-6=\frac{11}{4}(x-5)答え y=\dfrac{11}{4}x-\dfrac{31}{4}
2
サイクロイド x=t-\sin t,\ y=1-\cos t について、t=\frac\pi2 での \frac{dy}{dx} を求めよ。
解答
\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t、\dfrac{dy}{dt}=\sin t より \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}。
t=\frac\pi2 で \dfrac{1}{1-0}=1。答え 1
t=\frac\pi2 で \dfrac{1}{1-0}=1。答え 1
注意第2次導関数を \dfrac{(dy/dt)'}{(dx/dt)'} としない。\frac{dy}{dx} を t で微分して、もう一度 \frac{dx}{dt} で割る。