合成関数・逆関数の微分
着眼点「外側を微分 × 中身の微分」。y=f(u),\ u=g(x) と分けて考える。逆関数は \frac{dy}{dx}=1\Big/\frac{dx}{dy}。
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx},\qquad \{f(g(x))\}'=f'(g(x))\,g'(x)\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\quad(\text{逆関数})
例題
1
y=\sqrt{x^2+1} を微分せよ。
解答
u=x^2+1 とおくと y=u^{\frac12}。y'=\frac12u^{-\frac12}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}
2
f(x)=x^3+x の逆関数を g(x) とする。g'(2) を求めよ。
解答
f(1)=2 より g(2)=1。f'(x)=3x^2+1、f'(1)=4。g'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac14答え \dfrac14
注意\{(2x+1)^5\}'=5(2x+1)^4 と中身の微分 \times2 を忘れるのが最多ミス。正しくは 10(2x+1)^4。
確認問題
1
y=\sin^3x を微分せよ。
答え
y'=3\sin^2x\cos x