最大・最小（文章題を含む）
着眼点区間の端点の値と極値を比べる。文章題は「何を変数にするか」「その変数の範囲」を最初に書く。
例題
1
f(x)=x^2e^{-x}\ (0\le x\le3) の最大値・最小値を求めよ。
解答
f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}。0<x<2 で増加、2<x<3 で減少。
f(0)=0、f(2)=\frac{4}{e^2}、f(3)=\frac9{e^3}。
f(2) が極大かつ区間内で最大。最小は f(0) と f(3) の小さいほうで f(0)=0。
答え 最大値 \dfrac4{e^2}\ (x=2)、最小値 0\ (x=0)
f(0)=0、f(2)=\frac{4}{e^2}、f(3)=\frac9{e^3}。
f(2) が極大かつ区間内で最大。最小は f(0) と f(3) の小さいほうで f(0)=0。
答え 最大値 \dfrac4{e^2}\ (x=2)、最小値 0\ (x=0)
2
半径 1 の球に内接する直円柱の体積の最大値を求めよ。
解答
円柱の高さを 2h、底面の半径を r とすると r^2=1-h^2\ (0<h<1)。V=\pi r^2\cdot2h=2\pi(h-h^3)V'=2\pi(1-3h^2)=0 より h=\frac1{\sqrt3}。この前後で V' は +\to-。V=2\pi\left(\frac1{\sqrt3}-\frac1{3\sqrt3}\right)=\frac{4\pi}{3\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{9}\pi答え \dfrac{4\sqrt3}{9}\pi
注意開区間では端点で値をとらないので、「最大値なし」になることがある。端での極限も調べる。