増減と極値（増減表）
着眼点f'(x) を因数分解し、符号が変わる点を並べて増減表。e^x や (\ )^2 など常に正の因数は符号に関係しない。
f'(x)>0 の区間で増加、f'(x)<0 で減少。f' の符号が +\to- で極大、-\to+ で極小。
例題
1
f(x)=xe^{-x} の極値を求めよ。
解答
f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}。e^{-x}>0 なので符号は 1-x で決まる。
x<1 で f'>0、x>1 で f'<0。
答え x=1 で極大値 \dfrac1e（極小値なし）
x<1 で f'>0、x>1 で f'<0。
答え x=1 で極大値 \dfrac1e（極小値なし）
2
f(x)=x-2\sin x\ (0\le x\le2\pi) の極値を求めよ。
解答
f'(x)=1-2\cos x=0 より \cos x=\frac12、x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3。
0<x<\frac\pi3 で f'<0、\frac\pi3<x<\frac{5\pi}3 で f'>0、\frac{5\pi}3<x<2\pi で f'<0。
答え x=\frac\pi3 で極小値 \dfrac\pi3-\sqrt3、x=\frac{5\pi}3 で極大値 \dfrac{5\pi}3+\sqrt3
0<x<\frac\pi3 で f'<0、\frac\pi3<x<\frac{5\pi}3 で f'>0、\frac{5\pi}3<x<2\pi で f'<0。
答え x=\frac\pi3 で極小値 \dfrac\pi3-\sqrt3、x=\frac{5\pi}3 で極大値 \dfrac{5\pi}3+\sqrt3
注意f'(a)=0 でも符号が変わらなければ極値ではない（例：x^3 の x=0）。