共役複素数と絶対値（|z|^2=z\overline{z}）
着眼点絶対値は2乗して z\overline z に直す。実数・純虚数の判定は共役で書く。
z=a+bi\ \text{のとき}\ \overline z=a-bi,\quad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\quad |z|^2=z\overline z
- z が実数 \iff \overline z=z
- z が純虚数 \iff \overline z=-z,\ z\ne0
- \overline{z+w}=\overline z+\overline w,\ \ \overline{zw}=\overline z\,\overline w,\ \ |zw|=|z||w|
- 2点間の距離：|\beta-\alpha|
例題
1
z=3-4i のとき |z| と \dfrac1z を求めよ。
解答
|z|=\sqrt{9+16}=5。\frac1z=\frac{\overline z}{|z|^2}=\frac{3+4i}{25}
2
|z|=2 のとき、z+\dfrac{4}{\overline z} を z で表せ。
解答
|z|^2=z\overline z=4 より \frac{4}{\overline z}=\frac{z\overline z}{\overline z}=z。
答え z+\frac{4}{\overline z}=2z
答え z+\frac{4}{\overline z}=2z
注意|z|^2=z^2 ではない（z^2 は一般に複素数）。必ず z\overline z。