|z|=1 のときは \overline z=\dfrac1z
着眼点単位円上の点なら共役を \dfrac1z に置きかえられる。z+\dfrac1z は実数 2\cos\theta。
|z|=1 \iff z\overline z=1 \iff \overline z=\frac1zz=\cos\theta+i\sin\theta\ \text{なら}\ z+\frac1z=2\cos\theta
例題
1
|z|=1 のとき、w=z+\dfrac1z がとりうる値の範囲を求めよ。
解答
z=\cos\theta+i\sin\theta とおくと \frac1z=\cos\theta-i\sin\theta。w=2\cos\theta。
答え：w は実数で -2\le w\le2
答え：w は実数で -2\le w\le2
2
z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} について、t=z+\dfrac1z の値を求め、\cos\frac{2\pi}{5} の値を求めよ。
解答
z^5=1,\ z\ne1 より 1+z+z^2+z^3+z^4=0。z^2 で割ると z^2+\frac1{z^2}+z+\frac1z+1=0z^2+\frac1{z^2}=t^2-2 なので t^2+t-1=0。
t=2\cos\frac{2\pi}5>0 より t=\frac{-1+\sqrt5}{2}。\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}（検算：\approx0.309=\cos72^\circ）
t=2\cos\frac{2\pi}5>0 より t=\frac{-1+\sqrt5}{2}。\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{\sqrt5-1}{4}（検算：\approx0.309=\cos72^\circ）