正三角形の条件 \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha
着眼点3点が正三角形の頂点 \iff この対称式が成り立つ。暗記より「回転で示す」方が応用が利く。
例題
1
\alpha=0,\ \beta=1,\ \gamma=\frac{1+\sqrt3\,i}{2} で上の等式が成り立つことを確かめよ。
解答
\gamma^2=\frac{1+2\sqrt3\,i-3}{4}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i。
左辺 =0+1+\gamma^2=\frac12+\frac{\sqrt3}2i
右辺 =0+\gamma+0=\frac12+\frac{\sqrt3}2i。一致する。
左辺 =0+1+\gamma^2=\frac12+\frac{\sqrt3}2i
右辺 =0+\gamma+0=\frac12+\frac{\sqrt3}2i。一致する。
ポイント後回しでよい理由：地方国公立では「\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} を計算して形を判定」で足りる。例外：この式の証明そのものが誘導問題として出る難関大の対策をする人。