方程式の表す図形（円・垂直二等分線）
着眼点|z-\alpha| は「点 \alpha との距離」と読む。比の形（アポロニウス）は2乗して z\overline z でまとめる。
- |z-\alpha|=r：中心 \alpha、半径 r の円
- |z-\alpha|=|z-\beta|：2点 \alpha,\beta を結ぶ線分の垂直二等分線
- |z-\alpha|=k|z-\beta|\ (k\ne1)：円（2乗して整理）
例題
1
|z-2i|=3 を満たす点 z 全体はどんな図形か。また |z+2|=|z-4i| はどうか。
解答
前者：中心 2i、半径3の円。
後者：2点 -2 と 4i を結ぶ線分の垂直二等分線。
後者：2点 -2 と 4i を結ぶ線分の垂直二等分線。
2
|z-1|=2|z+2| を満たす点 z 全体はどんな図形か。
解答
両辺を2乗：(z-1)(\overline z-1)=4(z+2)(\overline z+2)。z\overline z-z-\overline z+1=4z\overline z+8z+8\overline z+163z\overline z+9z+9\overline z+15=0 \ \Rightarrow\ z\overline z+3z+3\overline z+5=0(z+3)(\overline z+3)=9-5=4 \ \Rightarrow\ |z+3|=2答え：中心 -3、半径2の円
（検算：z=-1 で |{-2}|=2,\ 2|1|=2）
（検算：z=-1 で |{-2}|=2,\ 2|1|=2）
確認問題
1
|z-(3+4i)|=2 のとき |z| の最大値・最小値は？
答え
原点と中心の距離は5。最大 5+2=7、最小 5-2=3。