ド・モアブルの定理
着眼点累乗は極形式にしてから。n 乗は「絶対値を n 乗、偏角を n 倍」。
(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\quad(n\ \text{は整数})
例題
1
(1+i)^8 を計算せよ。
解答
1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)。(1+i)^8=(\sqrt2)^8(\cos2\pi+i\sin2\pi)=16
2
\left(\dfrac{1+\sqrt3\,i}{1+i}\right)^{12} を計算せよ。
解答
商は絶対値 \frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2、偏角 \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}。\left(\sqrt2\right)^{12}\left(\cos\pi+i\sin\pi\right)=64\cdot(-1)=-64
確認問題
1
(1+\sqrt3\,i)^n が正の実数となる最小の自然数 n は？
答え
偏角 \frac{n\pi}{3} が 2\pi の整数倍 → n=6（値は 64）