3点の位置関係（\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} を見る）
着眼点\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} の絶対値は辺の比 \dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}、偏角は \angle\mathrm{BAC}。
- 3点が一直線上 \iff \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} が実数
- \mathrm{AB}\perp\mathrm{AC} \iff \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} が純虚数
例題
1
\alpha=0,\ \beta=1+2i,\ \gamma=x+i（x は実数）とする。(1) 3点が一直線上にある x、(2) \mathrm{OB}\perp\mathrm{OC} となる x を求めよ。
解答
\frac{\gamma}{\beta}=\frac{(x+i)(1-2i)}{5}=\frac{x+2}{5}+\frac{1-2x}{5}i(1) 虚部 =0 より x=\frac12
(2) 実部 =0（虚部 \ne0）より x=-2
（検算：(2) は (1,2)\cdot(-2,1)=0）
(2) 実部 =0（虚部 \ne0）より x=-2
（検算：(2) は (1,2)\cdot(-2,1)=0）
2
異なる3点 \mathrm{A}(\alpha),\mathrm{B}(\beta),\mathrm{C}(\gamma) が \gamma-\alpha=(1+\sqrt3\,i)(\beta-\alpha) を満たす。\triangle\mathrm{ABC} の3つの角を求めよ。
解答
1+\sqrt3\,i=2\left(\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3\right) より \mathrm{AC}=2\mathrm{AB}、\angle\mathrm{BAC}=\frac\pi3。
\mathrm{AB}=1,\ \mathrm{AC}=2 とすると余弦定理で \mathrm{BC}^2=1+4-2=3、\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2=4=\mathrm{AC}^2。
答え \angle\mathrm A=\frac\pi3,\ \angle\mathrm B=\frac\pi2,\ \angle\mathrm C=\frac\pi6
\mathrm{AB}=1,\ \mathrm{AC}=2 とすると余弦定理で \mathrm{BC}^2=1+4-2=3、\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2=4=\mathrm{AC}^2。
答え \angle\mathrm A=\frac\pi3,\ \angle\mathrm B=\frac\pi2,\ \angle\mathrm C=\frac\pi6
注意分母と分子の順番に注意。\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} の偏角は「ABからACへ」回る角。