1の n 乗根の和と三角関数の和
着眼点z^n=1,\ z\ne1 なら 1+z+\cdots+z^{n-1}=0。実部を取ると \cos の和が出る。
\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}{n}=0\quad(n\ge2)
例題
1
\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5} の値を求めよ。
解答
\sum_{k=0}^{4}\cos\frac{2k\pi}5=0 で、\cos\frac{8\pi}5=\cos\frac{2\pi}5,\ \cos\frac{6\pi}5=\cos\frac{4\pi}5。
1+2\left(\cos\frac{2\pi}5+\cos\frac{4\pi}5\right)=0。答え -\frac12
1+2\left(\cos\frac{2\pi}5+\cos\frac{4\pi}5\right)=0。答え -\frac12
ポイント後回しでよい理由：上の「|z|=1 なら \overline z=\frac1z」の項目ができれば必要な場面で導ける。例外：難関理系の個別試験では誘導つきで出ることがある。