極形式と積・商
着眼点かけ算は「絶対値はかけ、偏角は足す」。割り算は「絶対値は割り、偏角は引く」。
z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\quad(r=|z|,\ \theta=\arg z)z_1z_2=r_1r_2\{\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\}\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}
例題
1
1+\sqrt3\,i と -1+i を極形式で表せ（0\le\theta<2\pi）。
解答
1+\sqrt3\,i=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)-1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)
2
(1+\sqrt3\,i)(-1+i) の絶対値と偏角を求めよ（0\le\theta<2\pi）。
解答
絶対値 2\cdot\sqrt2=2\sqrt2、偏角 \frac{\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}=\frac{13\pi}{12}。
（検算：展開すると -1-\sqrt3+(1-\sqrt3)i、絶対値の2乗は (1+\sqrt3)^2+(1-\sqrt3)^2=8）
（検算：展開すると -1-\sqrt3+(1-\sqrt3)i、絶対値の2乗は (1+\sqrt3)^2+(1-\sqrt3)^2=8）
注意偏角は \tan だけで決めず、点がどの象限にあるかを図で確かめる。